Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53254 / 94221
↖ ↑ ↗
← S 61.623370°
W 33.733520°		 ← 145.16 m → S 61.623370°
W 33.730774°		 →
↑
145.20 m
↓
↑
145.20 m
↓
S 61.624676°
W 33.733520°		 ← 145.15 m →
21 076 m²		 S 61.624676°
W 33.730774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406299591064453 y=0.718852996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406299591064453 × 217)
    floor (0.406299591064453 × 131072)
    floor (53254.5)     		tx = 53254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718852996826172 × 217)
    floor (0.718852996826172 × 131072)
    floor (94221.5)     		ty = 94221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53254 / 94221 ti = "17/53254/94221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53254/94221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53254 ÷ 217
    53254 ÷ 131072     		x = 0.406295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94221 ÷ 217
    94221 ÷ 131072     		y = 0.718849182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.187408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58876100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718849182128906 × 2 - 1) × π
    -0.437698364257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.37506996560131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58876100} λ = -0.58876100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37506996560131))-π/2
    2×atan(0.252821906349225)-π/2
    2×0.247632806455767-π/2
    0.495265612911534-1.57079632675     		φ = -1.07553071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58876100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.733520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07553071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.623370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53254 KachelY 94221 -0.58876100 -1.07553071 -33.733520 -61.623370
    Oben rechts KachelX + 1 53255 KachelY 94221 -0.58871306 -1.07553071 -33.730774 -61.623370
    Unten links KachelX 53254 KachelY + 1 94222 -0.58876100 -1.07555350 -33.733520 -61.624676
    Unten rechts KachelX + 1 53255 KachelY + 1 94222 -0.58871306 -1.07555350 -33.730774 -61.624676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07553071--1.07555350) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dl = 145.19509000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07553071--1.07555350) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dr = 145.19509000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58876100--0.58871306) × cos(-1.07553071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475265368979235 × 6371000     		do = 145.158277016761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58876100--0.58871306) × cos(-1.07555350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475245317245184 × 6371000     		du = 145.15215270105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07553071)-sin(-1.07555350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475265368979235-0.475245317245184)×R²
    abs(-0.58871306--0.58876100)×2.00517340508966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00517340508966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00517340508966e-05×40589641000000     		ar = 21075.8244863729m²