Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53254 / 102398
↖ ↑ ↗
← S 70.610790°
W 33.733520°		 ← 101.40 m → S 70.610790°
W 33.730774°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.611703°
W 33.733520°		 ← 101.39 m →
10 284 m²		 S 70.611703°
W 33.730774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406299591064453 y=0.781238555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406299591064453 × 217)
    floor (0.406299591064453 × 131072)
    floor (53254.5)     		tx = 53254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781238555908203 × 217)
    floor (0.781238555908203 × 131072)
    floor (102398.5)     		ty = 102398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53254 / 102398 ti = "17/53254/102398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53254/102398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53254 ÷ 217
    53254 ÷ 131072     		x = 0.406295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102398 ÷ 217
    102398 ÷ 131072     		y = 0.781234741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.187408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58876100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.562469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76704999379451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58876100} λ = -0.58876100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76704999379451))-π/2
    2×atan(0.170836214093331)-π/2
    2×0.169202770998256-π/2
    0.338405541996513-1.57079632675     		φ = -1.23239078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58876100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.733520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23239078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.610790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53254 KachelY 102398 -0.58876100 -1.23239078 -33.733520 -70.610790
    Oben rechts KachelX + 1 53255 KachelY 102398 -0.58871306 -1.23239078 -33.730774 -70.610790
    Unten links KachelX 53254 KachelY + 1 102399 -0.58876100 -1.23240670 -33.733520 -70.611703
    Unten rechts KachelX + 1 53255 KachelY + 1 102399 -0.58871306 -1.23240670 -33.730774 -70.611703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23239078--1.23240670) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23239078--1.23240670) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58876100--0.58871306) × cos(-1.23239078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33198349067079 × 6371000     		do = 101.396303305843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58876100--0.58871306) × cos(-1.23240670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331968473528393 × 6371000     		du = 101.391716684013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23239078)-sin(-1.23240670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33198349067079-0.331968473528393)×R²
    abs(-0.58871306--0.58876100)×1.50171423975998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50171423975998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50171423975998e-05×40589641000000     		ar = 10284.0213041604m²