Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53253 / 102387
↖ ↑ ↗
← S 70.600758°
W 33.736267°		 ← 101.45 m → S 70.600758°
W 33.733520°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 70.601671°
W 33.736267°		 ← 101.44 m →
10 296 m²		 S 70.601671°
W 33.733520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406291961669922 y=0.781154632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406291961669922 × 217)
    floor (0.406291961669922 × 131072)
    floor (53253.5)     		tx = 53253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781154632568359 × 217)
    floor (0.781154632568359 × 131072)
    floor (102387.5)     		ty = 102387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53253 / 102387 ti = "17/53253/102387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53253/102387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53253 ÷ 217
    53253 ÷ 131072     		x = 0.406288146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102387 ÷ 217
    102387 ÷ 131072     		y = 0.781150817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406288146972656 × 2 - 1) × π
    -0.187423706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.58880894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781150817871094 × 2 - 1) × π
    -0.562301635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.76652268789869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58880894} λ = -0.58880894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76652268789869))-π/2
    2×atan(0.170926320791051)-π/2
    2×0.169290321194511-π/2
    0.338580642389022-1.57079632675     		φ = -1.23221568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58880894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.736267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23221568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.600758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53253 KachelY 102387 -0.58880894 -1.23221568 -33.736267 -70.600758
    Oben rechts KachelX + 1 53254 KachelY 102387 -0.58876100 -1.23221568 -33.733520 -70.600758
    Unten links KachelX 53253 KachelY + 1 102388 -0.58880894 -1.23223161 -33.736267 -70.601671
    Unten rechts KachelX + 1 53254 KachelY + 1 102388 -0.58876100 -1.23223161 -33.733520 -70.601671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23221568--1.23223161) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23221568--1.23223161) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58880894--0.58876100) × cos(-1.23221568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332148654818544 × 6371000     		do = 101.446748687892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58880894--0.58876100) × cos(-1.23223161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332133629169466 × 6371000     		du = 101.442159467903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23221568)-sin(-1.23223161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332148654818544-0.332133629169466)×R²
    abs(-0.58876100--0.58880894)×1.50256490771272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50256490771272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50256490771272e-05×40589641000000     		ar = 10295.6006879304m²