Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53252 / 102388
↖ ↑ ↗
← S 70.601671°
W 33.739013°		 ← 101.42 m → S 70.601671°
W 33.736267°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.602583°
W 33.739013°		 ← 101.42 m →
10 287 m²		 S 70.602583°
W 33.736267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406284332275391 y=0.781162261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406284332275391 × 217)
    floor (0.406284332275391 × 131072)
    floor (53252.5)     		tx = 53252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781162261962891 × 217)
    floor (0.781162261962891 × 131072)
    floor (102388.5)     		ty = 102388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53252 / 102388 ti = "17/53252/102388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53252/102388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53252 ÷ 217
    53252 ÷ 131072     		x = 0.406280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102388 ÷ 217
    102388 ÷ 131072     		y = 0.781158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58885687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.56231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76657062479831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58885687} λ = -0.58885687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76657062479831))-π/2
    2×atan(0.170918127309555)-π/2
    2×0.169282360286227-π/2
    0.338564720572455-1.57079632675     		φ = -1.23223161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58885687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.739013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23223161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.601671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53252 KachelY 102388 -0.58885687 -1.23223161 -33.739013 -70.601671
    Oben rechts KachelX + 1 53253 KachelY 102388 -0.58880894 -1.23223161 -33.736267 -70.601671
    Unten links KachelX 53252 KachelY + 1 102389 -0.58885687 -1.23224753 -33.739013 -70.602583
    Unten rechts KachelX + 1 53253 KachelY + 1 102389 -0.58880894 -1.23224753 -33.736267 -70.602583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23223161--1.23224753) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23223161--1.23224753) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58885687--0.58880894) × cos(-1.23223161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332133629169466 × 6371000     		do = 101.420999234518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58885687--0.58880894) × cos(-1.23224753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332118612868482 × 6371000     		du = 101.416413826366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23223161)-sin(-1.23224753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332133629169466-0.332118612868482)×R²
    abs(-0.58880894--0.58885687)×1.50163009847715e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50163009847715e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50163009847715e-05×40589641000000     		ar = 10286.5261828502m²