Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5325 / 6067
↖ ↑ ↗
← S 65.127638°
E 54.008789°		 ← 2 055.25 m → S 65.127638°
E 54.052734°		 →
↑
2 054.52 m
↓
↑
2 054.52 m
↓
S 65.146115°
E 54.008789°		 ← 2 053.82 m →
4 221 085 m²		 S 65.146115°
E 54.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65008544921875 y=0.74066162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65008544921875 × 213)
    floor (0.65008544921875 × 8192)
    floor (5325.5)     		tx = 5325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74066162109375 × 213)
    floor (0.74066162109375 × 8192)
    floor (6067.5)     		ty = 6067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5325 / 6067 ti = "13/5325/6067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5325/6067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5325 ÷ 213
    5325 ÷ 8192     		x = 0.6500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6067 ÷ 213
    6067 ÷ 8192     		y = 0.7406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6500244140625 × 2 - 1) × π
    0.300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94263119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51173806641809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94263119} λ = 0.94263119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51173806641809))-π/2
    2×atan(0.220526355222737)-π/2
    2×0.217052305212472-π/2
    0.434104610424945-1.57079632675     		φ = -1.13669172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94263119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13669172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.127638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5325 KachelY 6067 0.94263119 -1.13669172 54.008789 -65.127638
    Oben rechts KachelX + 1 5326 KachelY 6067 0.94339818 -1.13669172 54.052734 -65.127638
    Unten links KachelX 5325 KachelY + 1 6068 0.94263119 -1.13701420 54.008789 -65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 5326 KachelY + 1 6068 0.94339818 -1.13701420 54.052734 -65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13669172--1.13701420) × R
    0.000322480000000125 × 6371000     		dl = 2054.5200800008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13669172--1.13701420) × R
    0.000322480000000125 × 6371000     		dr = 2054.5200800008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94263119-0.94339818) × cos(-1.13669172) × R
    0.000766990000000023 × 0.420598227272906 × 6371000     		do = 2055.25041535501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94263119-0.94339818) × cos(-1.13701420) × R
    0.000766990000000023 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 2053.82067198627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13669172)-sin(-1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420598227272906-0.420305636393538)×R²
    abs(0.94339818-0.94263119)×0.000292590879367727×R²
    0.000766990000000023×0.000292590879367727×6371000²
    0.000766990000000023×0.000292590879367727×40589641000000     		ar = 4221084.56612977m²