Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53246 / 94002
↖ ↑ ↗
← S 61.336175°
W 33.755493°		 ← 146.50 m → S 61.336175°
W 33.752747°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
S 61.337492°
W 33.755493°		 ← 146.50 m →
21 458 m²		 S 61.337492°
W 33.752747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406238555908203 y=0.717182159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406238555908203 × 217)
    floor (0.406238555908203 × 131072)
    floor (53246.5)     		tx = 53246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717182159423828 × 217)
    floor (0.717182159423828 × 131072)
    floor (94002.5)     		ty = 94002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53246 / 94002 ti = "17/53246/94002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53246/94002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53246 ÷ 217
    53246 ÷ 131072     		x = 0.406234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94002 ÷ 217
    94002 ÷ 131072     		y = 0.717178344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.187530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58914450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717178344726562 × 2 - 1) × π
    -0.434356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36457178458452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58914450} λ = -0.58914450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36457178458452))-π/2
    2×atan(0.255490057348073)-π/2
    2×0.25013906396538-π/2
    0.50027812793076-1.57079632675     		φ = -1.07051820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58914450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07051820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.336175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53246 KachelY 94002 -0.58914450 -1.07051820 -33.755493 -61.336175
    Oben rechts KachelX + 1 53247 KachelY 94002 -0.58909656 -1.07051820 -33.752747 -61.336175
    Unten links KachelX 53246 KachelY + 1 94003 -0.58914450 -1.07054119 -33.755493 -61.337492
    Unten rechts KachelX + 1 53247 KachelY + 1 94003 -0.58909656 -1.07054119 -33.752747 -61.337492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07051820--1.07054119) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dl = 146.46928999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07051820--1.07054119) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dr = 146.46928999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58914450--0.58909656) × cos(-1.07051820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479669599283387 × 6371000     		do = 146.503442316536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58914450--0.58909656) × cos(-1.07054119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479649426599821 × 6371000     		du = 146.49728105973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07051820)-sin(-1.07054119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479669599283387-0.479649426599821)×R²
    abs(-0.58909656--0.58914450)×2.01726835664107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01726835664107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01726835664107e-05×40589641000000     		ar = 21457.8039622071m²