Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53245 / 94001
↖ ↑ ↗
← S 61.334857°
W 33.758240°		 ← 146.48 m → S 61.334857°
W 33.755493°		 →
↑
146.53 m
↓
↑
146.53 m
↓
S 61.336175°
W 33.758240°		 ← 146.47 m →
21 464 m²		 S 61.336175°
W 33.755493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406230926513672 y=0.717174530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406230926513672 × 217)
    floor (0.406230926513672 × 131072)
    floor (53245.5)     		tx = 53245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717174530029297 × 217)
    floor (0.717174530029297 × 131072)
    floor (94001.5)     		ty = 94001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53245 / 94001 ti = "17/53245/94001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53245/94001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53245 ÷ 217
    53245 ÷ 131072     		x = 0.406227111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94001 ÷ 217
    94001 ÷ 131072     		y = 0.717170715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406227111816406 × 2 - 1) × π
    -0.187545776367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.58919243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717170715332031 × 2 - 1) × π
    -0.434341430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.3645238476849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58919243} λ = -0.58919243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3645238476849))-π/2
    2×atan(0.255502305042862)-π/2
    2×0.250150561143915-π/2
    0.500301122287831-1.57079632675     		φ = -1.07049520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58919243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.758240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07049520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.334857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53245 KachelY 94001 -0.58919243 -1.07049520 -33.758240 -61.334857
    Oben rechts KachelX + 1 53246 KachelY 94001 -0.58914450 -1.07049520 -33.755493 -61.334857
    Unten links KachelX 53245 KachelY + 1 94002 -0.58919243 -1.07051820 -33.758240 -61.336175
    Unten rechts KachelX + 1 53246 KachelY + 1 94002 -0.58914450 -1.07051820 -33.755493 -61.336175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07049520--1.07051820) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dl = 146.532999999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07049520--1.07051820) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dr = 146.532999999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58919243--0.58914450) × cos(-1.07049520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479689780487811 × 6371000     		do = 146.479045140102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58919243--0.58914450) × cos(-1.07051820) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479669599283387 × 6371000     		du = 146.472882566551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07049520)-sin(-1.07051820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479689780487811-0.479669599283387)×R²
    abs(-0.58914450--0.58919243)×2.01812044233196e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01812044233196e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01812044233196e-05×40589641000000     		ar = 21463.5624122277m²