Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53243 / 94000
↖ ↑ ↗
← S 61.333540°
W 33.763733°		 ← 146.52 m → S 61.333540°
W 33.760986°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
S 61.334857°
W 33.763733°		 ← 146.51 m →
21 460 m²		 S 61.334857°
W 33.760986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406215667724609 y=0.717166900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406215667724609 × 217)
    floor (0.406215667724609 × 131072)
    floor (53243.5)     		tx = 53243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717166900634766 × 217)
    floor (0.717166900634766 × 131072)
    floor (94000.5)     		ty = 94000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53243 / 94000 ti = "17/53243/94000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53243/94000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53243 ÷ 217
    53243 ÷ 131072     		x = 0.406211853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94000 ÷ 217
    94000 ÷ 131072     		y = 0.7171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406211853027344 × 2 - 1) × π
    -0.187576293945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.58928831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36447591078528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58928831} λ = -0.58928831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36447591078528))-π/2
    2×atan(0.255514553324781)-π/2
    2×0.250162058806051-π/2
    0.500324117612102-1.57079632675     		φ = -1.07047221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58928831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.763733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07047221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.333540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53243 KachelY 94000 -0.58928831 -1.07047221 -33.763733 -61.333540
    Oben rechts KachelX + 1 53244 KachelY 94000 -0.58924037 -1.07047221 -33.760986 -61.333540
    Unten links KachelX 53243 KachelY + 1 94001 -0.58928831 -1.07049520 -33.763733 -61.334857
    Unten rechts KachelX + 1 53244 KachelY + 1 94001 -0.58924037 -1.07049520 -33.760986 -61.334857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07047221--1.07049520) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dl = 146.469290001064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07047221--1.07049520) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dr = 146.469290001064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58928831--0.58924037) × cos(-1.07047221) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479709952664207 × 6371000     		do = 146.515767278074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58928831--0.58924037) × cos(-1.07049520) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479689780487811 × 6371000     		du = 146.50960617617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07047221)-sin(-1.07049520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479709952664207-0.479689780487811)×R²
    abs(-0.58924037--0.58928831)×2.0172176396438e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.0172176396438e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.0172176396438e-05×40589641000000     		ar = 21459.6092020337m²