Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53234 / 94007
↖ ↑ ↗
← S 61.342761°
W 33.788452°		 ← 146.47 m → S 61.342761°
W 33.785705°		 →
↑
146.41 m
↓
↑
146.41 m
↓
S 61.344078°
W 33.788452°		 ← 146.47 m →
21 444 m²		 S 61.344078°
W 33.785705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406147003173828 y=0.717220306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406147003173828 × 217)
    floor (0.406147003173828 × 131072)
    floor (53234.5)     		tx = 53234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717220306396484 × 217)
    floor (0.717220306396484 × 131072)
    floor (94007.5)     		ty = 94007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53234 / 94007 ti = "17/53234/94007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53234/94007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53234 ÷ 217
    53234 ÷ 131072     		x = 0.406143188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94007 ÷ 217
    94007 ÷ 131072     		y = 0.717216491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406143188476562 × 2 - 1) × π
    -0.187713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58971974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717216491699219 × 2 - 1) × π
    -0.434432983398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.36481146908262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58971974} λ = -0.58971974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36481146908262))-π/2
    2×atan(0.255428827680102)-π/2
    2×0.250081585326214-π/2
    0.500163170652428-1.57079632675     		φ = -1.07063316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58971974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.788452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07063316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.342761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53234 KachelY 94007 -0.58971974 -1.07063316 -33.788452 -61.342761
    Oben rechts KachelX + 1 53235 KachelY 94007 -0.58967180 -1.07063316 -33.785705 -61.342761
    Unten links KachelX 53234 KachelY + 1 94008 -0.58971974 -1.07065614 -33.788452 -61.344078
    Unten rechts KachelX + 1 53235 KachelY + 1 94008 -0.58967180 -1.07065614 -33.785705 -61.344078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07063316--1.07065614) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dl = 146.405580000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07063316--1.07065614) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dr = 146.405580000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58971974--0.58967180) × cos(-1.07063316) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479568724555479 × 6371000     		do = 146.472632578456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58971974--0.58967180) × cos(-1.07065614) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479548559379492 × 6371000     		du = 146.466473614659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07063316)-sin(-1.07065614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479568724555479-0.479548559379492)×R²
    abs(-0.58967180--0.58971974)×2.01651759864085e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01651759864085e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01651759864085e-05×40589641000000     		ar = 21443.9598744286m²