Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53231 / 94009
↖ ↑ ↗
← S 61.345395°
W 33.796692°		 ← 146.46 m → S 61.345395°
W 33.793945°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
S 61.346713°
W 33.796692°		 ← 146.45 m →
21 451 m²		 S 61.346713°
W 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406124114990234 y=0.717235565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406124114990234 × 217)
    floor (0.406124114990234 × 131072)
    floor (53231.5)     		tx = 53231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717235565185547 × 217)
    floor (0.717235565185547 × 131072)
    floor (94009.5)     		ty = 94009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53231 / 94009 ti = "17/53231/94009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53231/94009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53231 ÷ 217
    53231 ÷ 131072     		x = 0.406120300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94009 ÷ 217
    94009 ÷ 131072     		y = 0.717231750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406120300292969 × 2 - 1) × π
    -0.187759399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.58986355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717231750488281 × 2 - 1) × π
    -0.434463500976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.36490734288186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58986355} λ = -0.58986355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36490734288186))-π/2
    2×atan(0.255404339921843)-π/2
    2×0.250058597255253-π/2
    0.500117194510506-1.57079632675     		φ = -1.07067913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58986355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.796692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07067913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.345395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53231 KachelY 94009 -0.58986355 -1.07067913 -33.796692 -61.345395
    Oben rechts KachelX + 1 53232 KachelY 94009 -0.58981561 -1.07067913 -33.793945 -61.345395
    Unten links KachelX 53231 KachelY + 1 94010 -0.58986355 -1.07070212 -33.796692 -61.346713
    Unten rechts KachelX + 1 53232 KachelY + 1 94010 -0.58981561 -1.07070212 -33.793945 -61.346713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07067913--1.07070212) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dl = 146.46928999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07067913--1.07070212) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dr = 146.46928999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58986355--0.58981561) × cos(-1.07067913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479528385175002 × 6371000     		do = 146.460311892984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58986355--0.58981561) × cos(-1.07070212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479508210717062 × 6371000     		du = 146.454150094239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07067913)-sin(-1.07070212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479528385175002-0.479508210717062)×R²
    abs(-0.58981561--0.58986355)×2.01744579401697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01744579401697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01744579401697e-05×40589641000000     		ar = 21451.4866398629m²