Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53231 / 94008
↖ ↑ ↗
← S 61.344078°
W 33.796692°		 ← 146.47 m → S 61.344078°
W 33.793945°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
S 61.345395°
W 33.796692°		 ← 146.46 m →
21 452 m²		 S 61.345395°
W 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406124114990234 y=0.717227935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406124114990234 × 217)
    floor (0.406124114990234 × 131072)
    floor (53231.5)     		tx = 53231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717227935791016 × 217)
    floor (0.717227935791016 × 131072)
    floor (94008.5)     		ty = 94008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53231 / 94008 ti = "17/53231/94008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53231/94008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53231 ÷ 217
    53231 ÷ 131072     		x = 0.406120300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94008 ÷ 217
    94008 ÷ 131072     		y = 0.71722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406120300292969 × 2 - 1) × π
    -0.187759399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.58986355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36485940598224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58986355} λ = -0.58986355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36485940598224))-π/2
    2×atan(0.255416583507506)-π/2
    2×0.250070091048983-π/2
    0.500140182097966-1.57079632675     		φ = -1.07065614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58986355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.796692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07065614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.344078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53231 KachelY 94008 -0.58986355 -1.07065614 -33.796692 -61.344078
    Oben rechts KachelX + 1 53232 KachelY 94008 -0.58981561 -1.07065614 -33.793945 -61.344078
    Unten links KachelX 53231 KachelY + 1 94009 -0.58986355 -1.07067913 -33.796692 -61.345395
    Unten rechts KachelX + 1 53232 KachelY + 1 94009 -0.58981561 -1.07067913 -33.793945 -61.345395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07065614--1.07067913) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dl = 146.46928999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07065614--1.07067913) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dr = 146.46928999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58986355--0.58981561) × cos(-1.07065614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479548559379492 × 6371000     		do = 146.466473614319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58986355--0.58981561) × cos(-1.07067913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479528385175002 × 6371000     		du = 146.460311892984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07065614)-sin(-1.07067913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479548559379492-0.479528385175002)×R²
    abs(-0.58981561--0.58986355)×2.0174204490242e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0174204490242e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0174204490242e-05×40589641000000     		ar = 21452.3891484935m²