Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53229 / 93940
↖ ↑ ↗
← S 61.254386°
W 33.802185°		 ← 146.86 m → S 61.254386°
W 33.799439°		 →
↑
146.85 m
↓
↑
146.85 m
↓
S 61.255707°
W 33.802185°		 ← 146.85 m →
21 565 m²		 S 61.255707°
W 33.799439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406108856201172 y=0.716709136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406108856201172 × 217)
    floor (0.406108856201172 × 131072)
    floor (53229.5)     		tx = 53229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716709136962891 × 217)
    floor (0.716709136962891 × 131072)
    floor (93940.5)     		ty = 93940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53229 / 93940 ti = "17/53229/93940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53229/93940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53229 ÷ 217
    53229 ÷ 131072     		x = 0.406105041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93940 ÷ 217
    93940 ÷ 131072     		y = 0.716705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406105041503906 × 2 - 1) × π
    -0.187789916992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.58995942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.43341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36159969680808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58995942} λ = -0.58995942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36159969680808))-π/2
    2×atan(0.256250525754159)-π/2
    2×0.250852804062508-π/2
    0.501705608125017-1.57079632675     		φ = -1.06909072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58995942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.802185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06909072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.254386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53229 KachelY 93940 -0.58995942 -1.06909072 -33.802185 -61.254386
    Oben rechts KachelX + 1 53230 KachelY 93940 -0.58991149 -1.06909072 -33.799439 -61.254386
    Unten links KachelX 53229 KachelY + 1 93941 -0.58995942 -1.06911377 -33.802185 -61.255707
    Unten rechts KachelX + 1 53230 KachelY + 1 93941 -0.58991149 -1.06911377 -33.799439 -61.255707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06909072--1.06911377) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dl = 146.851550000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06909072--1.06911377) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dr = 146.851550000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58995942--0.58991149) × cos(-1.06909072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.48092165131218 × 6371000     		do = 146.855211715729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58995942--0.58991149) × cos(-1.06911377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480901441784035 × 6371000     		du = 146.84904049319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06909072)-sin(-1.06911377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48092165131218-0.480901441784035)×R²
    abs(-0.58991149--0.58995942)×2.02095281442993e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02095281442993e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02095281442993e-05×40589641000000     		ar = 21565.4623402147m²