Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53229 / 93936
↖ ↑ ↗
← S 61.249102°
W 33.802185°		 ← 146.88 m → S 61.249102°
W 33.799439°		 →
↑
146.85 m
↓
↑
146.85 m
↓
S 61.250423°
W 33.802185°		 ← 146.87 m →
21 569 m²		 S 61.250423°
W 33.799439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406108856201172 y=0.716678619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406108856201172 × 217)
    floor (0.406108856201172 × 131072)
    floor (53229.5)     		tx = 53229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716678619384766 × 217)
    floor (0.716678619384766 × 131072)
    floor (93936.5)     		ty = 93936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53229 / 93936 ti = "17/53229/93936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53229/93936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53229 ÷ 217
    53229 ÷ 131072     		x = 0.406105041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93936 ÷ 217
    93936 ÷ 131072     		y = 0.7166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406105041503906 × 2 - 1) × π
    -0.187789916992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.58995942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58995942} λ = -0.58995942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36140794920959))-π/2
    2×atan(0.256299665888183)-π/2
    2×0.250898915724379-π/2
    0.501797831448757-1.57079632675     		φ = -1.06899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58995942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.802185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.249102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53229 KachelY 93936 -0.58995942 -1.06899850 -33.802185 -61.249102
    Oben rechts KachelX + 1 53230 KachelY 93936 -0.58991149 -1.06899850 -33.799439 -61.249102
    Unten links KachelX 53229 KachelY + 1 93937 -0.58995942 -1.06902155 -33.802185 -61.250423
    Unten rechts KachelX + 1 53230 KachelY + 1 93937 -0.58991149 -1.06902155 -33.799439 -61.250423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06899850--1.06902155) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dl = 146.851550000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06899850--1.06902155) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dr = 146.851550000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58995942--0.58991149) × cos(-1.06899850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.481002504403885 × 6371000     		do = 146.879901179944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58995942--0.58991149) × cos(-1.06902155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480982295898087 × 6371000     		du = 146.87373026959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06899850)-sin(-1.06902155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481002504403885-0.480982295898087)×R²
    abs(-0.58991149--0.58995942)×2.02085057987023e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02085057987023e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02085057987023e-05×40589641000000     		ar = 21569.0880492275m²