Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53227 / 93939
↖ ↑ ↗
← S 61.253065°
W 33.807678°		 ← 146.89 m → S 61.253065°
W 33.804932°		 →
↑
146.92 m
↓
↑
146.92 m
↓
S 61.254386°
W 33.807678°		 ← 146.89 m →
21 580 m²		 S 61.254386°
W 33.804932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406093597412109 y=0.716701507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406093597412109 × 217)
    floor (0.406093597412109 × 131072)
    floor (53227.5)     		tx = 53227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716701507568359 × 217)
    floor (0.716701507568359 × 131072)
    floor (93939.5)     		ty = 93939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53227 / 93939 ti = "17/53227/93939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53227/93939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53227 ÷ 217
    53227 ÷ 131072     		x = 0.406089782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93939 ÷ 217
    93939 ÷ 131072     		y = 0.716697692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406089782714844 × 2 - 1) × π
    -0.187820434570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59005530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716697692871094 × 2 - 1) × π
    -0.433395385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.36155175990846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59005530} λ = -0.59005530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36155175990846))-π/2
    2×atan(0.25626280990432)-π/2
    2×0.250864331251236-π/2
    0.501728662502471-1.57079632675     		φ = -1.06906766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59005530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.807678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06906766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.253065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53227 KachelY 93939 -0.59005530 -1.06906766 -33.807678 -61.253065
    Oben rechts KachelX + 1 53228 KachelY 93939 -0.59000736 -1.06906766 -33.804932 -61.253065
    Unten links KachelX 53227 KachelY + 1 93940 -0.59005530 -1.06909072 -33.807678 -61.254386
    Unten rechts KachelX + 1 53228 KachelY + 1 93940 -0.59000736 -1.06909072 -33.804932 -61.254386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06906766--1.06909072) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dl = 146.915259999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06906766--1.06909072) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dr = 146.915259999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59005530--0.59000736) × cos(-1.06906766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480941869352334 × 6371000     		do = 146.892026343824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59005530--0.59000736) × cos(-1.06909072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.48092165131218 × 6371000     		du = 146.885851233948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06906766)-sin(-1.06909072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480941869352334-0.48092165131218)×R²
    abs(-0.59000736--0.59005530)×2.02180401542851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02180401542851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02180401542851e-05×40589641000000     		ar = 21580.2266343189m²