Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53227 / 102090
↖ ↑ ↗
← S 70.327986°
W 33.807678°		 ← 102.82 m → S 70.327986°
W 33.804932°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.328911°
W 33.807678°		 ← 102.81 m →
10 572 m²		 S 70.328911°
W 33.804932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406093597412109 y=0.778888702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406093597412109 × 217)
    floor (0.406093597412109 × 131072)
    floor (53227.5)     		tx = 53227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778888702392578 × 217)
    floor (0.778888702392578 × 131072)
    floor (102090.5)     		ty = 102090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53227 / 102090 ti = "17/53227/102090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53227/102090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53227 ÷ 217
    53227 ÷ 131072     		x = 0.406089782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102090 ÷ 217
    102090 ÷ 131072     		y = 0.778884887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406089782714844 × 2 - 1) × π
    -0.187820434570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59005530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.557769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75228542871153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59005530} λ = -0.59005530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75228542871153))-π/2
    2×atan(0.17337724897191)-π/2
    2×0.171670702768408-π/2
    0.343341405536816-1.57079632675     		φ = -1.22745492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59005530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.807678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22745492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.327986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53227 KachelY 102090 -0.59005530 -1.22745492 -33.807678 -70.327986
    Oben rechts KachelX + 1 53228 KachelY 102090 -0.59000736 -1.22745492 -33.804932 -70.327986
    Unten links KachelX 53227 KachelY + 1 102091 -0.59005530 -1.22747106 -33.807678 -70.328911
    Unten rechts KachelX + 1 53228 KachelY + 1 102091 -0.59000736 -1.22747106 -33.804932 -70.328911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22745492--1.22747106) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22745492--1.22747106) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59005530--0.59000736) × cos(-1.22745492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336635351434419 × 6371000     		do = 102.81710132195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59005530--0.59000736) × cos(-1.22747106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336620153400243 × 6371000     		du = 102.812459451115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22745492)-sin(-1.22747106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336635351434419-0.336620153400243)×R²
    abs(-0.59000736--0.59005530)×1.51980341767666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51980341767666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51980341767666e-05×40589641000000     		ar = 10572.2320689428m²