Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53226 / 93938
↖ ↑ ↗
← S 61.251744°
W 33.810425°		 ← 146.87 m → S 61.251744°
W 33.807678°		 →
↑
146.85 m
↓
↑
146.85 m
↓
S 61.253065°
W 33.810425°		 ← 146.86 m →
21 567 m²		 S 61.253065°
W 33.807678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406085968017578 y=0.716693878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406085968017578 × 217)
    floor (0.406085968017578 × 131072)
    floor (53226.5)     		tx = 53226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716693878173828 × 217)
    floor (0.716693878173828 × 131072)
    floor (93938.5)     		ty = 93938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53226 / 93938 ti = "17/53226/93938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53226/93938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53226 ÷ 217
    53226 ÷ 131072     		x = 0.406082153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93938 ÷ 217
    93938 ÷ 131072     		y = 0.716690063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406082153320312 × 2 - 1) × π
    -0.187835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59010323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716690063476562 × 2 - 1) × π
    -0.433380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36150382300883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59010323} λ = -0.59010323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36150382300883))-π/2
    2×atan(0.256275094643358)-π/2
    2×0.250875858924447-π/2
    0.501751717848894-1.57079632675     		φ = -1.06904461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59010323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.810425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06904461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.251744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53226 KachelY 93938 -0.59010323 -1.06904461 -33.810425 -61.251744
    Oben rechts KachelX + 1 53227 KachelY 93938 -0.59005530 -1.06904461 -33.807678 -61.251744
    Unten links KachelX 53226 KachelY + 1 93939 -0.59010323 -1.06906766 -33.810425 -61.253065
    Unten rechts KachelX + 1 53227 KachelY + 1 93939 -0.59005530 -1.06906766 -33.807678 -61.253065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06904461--1.06906766) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dl = 146.851550000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06904461--1.06906766) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dr = 146.851550000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59010323--0.59005530) × cos(-1.06904461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480962078369327 × 6371000     		do = 146.867556603967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59010323--0.59005530) × cos(-1.06906766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480941869352334 × 6371000     		du = 146.861385537513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06904461)-sin(-1.06906766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480962078369327-0.480941869352334)×R²
    abs(-0.59005530--0.59010323)×2.02090169930114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02090169930114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02090169930114e-05×40589641000000     		ar = 21567.275217724m²