Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53223 / 22292
N 49.767074°
E112.362671°
← 394.55 m → N 49.767074°
E112.368164°

394.56 m

394.56 m
N 49.763526°
E112.362671°
← 394.58 m →
155 677 m²
N 49.763526°
E112.368164°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812126159667969 y=0.340156555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812126159667969 × 216)
    floor (0.812126159667969 × 65536)
    floor (53223.5)
    tx = 53223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340156555175781 × 216)
    floor (0.340156555175781 × 65536)
    floor (22292.5)
    ty = 22292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53223 / 22292 ti = "16/53223/22292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53223/22292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53223 ÷ 216
    53223 ÷ 65536
    x = 0.812118530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22292 ÷ 216
    22292 ÷ 65536
    y = 0.34014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.812118530273438 × 2 - 1) × π
    0.624237060546875 × 3.1415926535
    Λ = 1.96109856
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.34014892578125 × 2 - 1) × π
    0.3197021484375 × 3.1415926535
    Φ = 1.00437392083942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96109856} λ = 1.96109856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00437392083942))-π/2
    2×atan(2.73019741792188)-π/2
    2×1.21969781422288-π/2
    2.43939562844577-1.57079632675
    φ = 0.86859930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96109856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.362671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86859930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.767074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53223 KachelY 22292 1.96109856 0.86859930 112.362671 49.767074
    Oben rechts KachelX + 1 53224 KachelY 22292 1.96119444 0.86859930 112.368164 49.767074
    Unten links KachelX 53223 KachelY + 1 22293 1.96109856 0.86853737 112.362671 49.763526
    Unten rechts KachelX + 1 53224 KachelY + 1 22293 1.96119444 0.86853737 112.368164 49.763526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.86859930-0.86853737) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000
    dl = 394.556029999922m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.86859930-0.86853737) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000
    dr = 394.556029999922m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.96109856-1.96119444) × cos(0.86859930) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.645896509870014 × 6371000
    do = 394.546838981588m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.96109856-1.96119444) × cos(0.86853737) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.645943787540321 × 6371000
    du = 394.575718616466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.86859930)-sin(0.86853737))×
    abs(λ12)×abs(0.645896509870014-0.645943787540321)×
    abs(1.96119444-1.96109856)×4.72776703067668e-05×
    9.58800000001592e-05×4.72776703067668e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.72776703067668e-05×40589641000000
    ar = 155676.531804485m²