Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53223 / 102087
↖ ↑ ↗
← S 70.325213°
W 33.818665°		 ← 102.83 m → S 70.325213°
W 33.815918°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.326138°
W 33.818665°		 ← 102.83 m →
10 574 m²		 S 70.326138°
W 33.815918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406063079833984 y=0.778865814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406063079833984 × 217)
    floor (0.406063079833984 × 131072)
    floor (53223.5)     		tx = 53223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778865814208984 × 217)
    floor (0.778865814208984 × 131072)
    floor (102087.5)     		ty = 102087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53223 / 102087 ti = "17/53223/102087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53223/102087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53223 ÷ 217
    53223 ÷ 131072     		x = 0.406059265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102087 ÷ 217
    102087 ÷ 131072     		y = 0.778861999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406059265136719 × 2 - 1) × π
    -0.187881469726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.59024705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778861999511719 × 2 - 1) × π
    -0.557723999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.75214161801267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59024705} λ = -0.59024705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75214161801267))-π/2
    2×atan(0.173402184268189)-π/2
    2×0.171694910289909-π/2
    0.343389820579818-1.57079632675     		φ = -1.22740651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59024705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.818665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22740651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.325213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53223 KachelY 102087 -0.59024705 -1.22740651 -33.818665 -70.325213
    Oben rechts KachelX + 1 53224 KachelY 102087 -0.59019911 -1.22740651 -33.815918 -70.325213
    Unten links KachelX 53223 KachelY + 1 102088 -0.59024705 -1.22742265 -33.818665 -70.326138
    Unten rechts KachelX + 1 53224 KachelY + 1 102088 -0.59019911 -1.22742265 -33.815918 -70.326138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22740651--1.22742265) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22740651--1.22742265) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59024705--0.59019911) × cos(-1.22740651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336680935594586 × 6371000     		do = 102.831023897801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59024705--0.59019911) × cos(-1.22742265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336665737823446 × 6371000     		du = 102.826382107305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22740651)-sin(-1.22742265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336680935594586-0.336665737823446)×R²
    abs(-0.59019911--0.59024705)×1.51977711391194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51977711391194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51977711391194e-05×40589641000000     		ar = 10573.6637028846m²