Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53222 / 22291
↖ ↑ ↗
← N 49.770622°
E112.357178°		 ← 394.48 m → N 49.770622°
E112.362671°		 →
↑
394.49 m
↓
↑
394.49 m
↓
N 49.767074°
E112.357178°		 ← 394.51 m →
155 624 m²		 N 49.767074°
E112.362671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812110900878906 y=0.340141296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812110900878906 × 216)
    floor (0.812110900878906 × 65536)
    floor (53222.5)     		tx = 53222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340141296386719 × 216)
    floor (0.340141296386719 × 65536)
    floor (22291.5)     		ty = 22291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53222 / 22291 ti = "16/53222/22291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53222/22291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53222 ÷ 216
    53222 ÷ 65536     		x = 0.812103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22291 ÷ 216
    22291 ÷ 65536     		y = 0.340133666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812103271484375 × 2 - 1) × π
    0.62420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96100269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340133666992188 × 2 - 1) × π
    0.319732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00446979463866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96100269} λ = 1.96100269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00446979463866))-π/2
    2×atan(2.7304591848691)-π/2
    2×1.21972877536589-π/2
    2.43945755073177-1.57079632675     		φ = 0.86866122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96100269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.357178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86866122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.770622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53222 KachelY 22291 1.96100269 0.86866122 112.357178 49.770622
    Oben rechts KachelX + 1 53223 KachelY 22291 1.96109856 0.86866122 112.362671 49.770622
    Unten links KachelX 53222 KachelY + 1 22292 1.96100269 0.86859930 112.357178 49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 53223 KachelY + 1 22292 1.96109856 0.86859930 112.362671 49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86866122-0.86859930) × R
    6.19200000000486e-05 × 6371000     		dl = 394.49232000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86866122-0.86859930) × R
    6.19200000000486e-05 × 6371000     		dr = 394.49232000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96100269-1.96109856) × cos(0.86866122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645849237357134 × 6371000     		do = 394.476815441556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96100269-1.96109856) × cos(0.86859930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 394.50568891428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86866122)-sin(0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645849237357134-0.645896509870014)×R²
    abs(1.96109856-1.96100269)×4.72725128800588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72725128800588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72725128800588e-05×40589641000000     		ar = 155623.769341208m²