Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53222 / 11494
↖ ↑ ↗
← N 81.424588°
W 33.821411°		 ← 45.53 m → N 81.424588°
W 33.818665°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
N 81.424179°
W 33.821411°		 ← 45.53 m →
2 071 m²		 N 81.424179°
W 33.818665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406055450439453 y=0.0876960754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406055450439453 × 217)
    floor (0.406055450439453 × 131072)
    floor (53222.5)     		tx = 53222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0876960754394531 × 217)
    floor (0.0876960754394531 × 131072)
    floor (11494.5)     		ty = 11494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53222 / 11494 ti = "17/53222/11494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53222/11494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53222 ÷ 217
    53222 ÷ 131072     		x = 0.406051635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11494 ÷ 217
    11494 ÷ 131072     		y = 0.0876922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406051635742188 × 2 - 1) × π
    -0.187896728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59029498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0876922607421875 × 2 - 1) × π
    0.824615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59060592926707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59029498} λ = -0.59029498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59060592926707))-π/2
    2×atan(13.3378509494425)-π/2
    2×1.49596174002302-π/2
    2.99192348004603-1.57079632675     		φ = 1.42112715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59029498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.821411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42112715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.424588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53222 KachelY 11494 -0.59029498 1.42112715 -33.821411 81.424588
    Oben rechts KachelX + 1 53223 KachelY 11494 -0.59024705 1.42112715 -33.818665 81.424588
    Unten links KachelX 53222 KachelY + 1 11495 -0.59029498 1.42112001 -33.821411 81.424179
    Unten rechts KachelX + 1 53223 KachelY + 1 11495 -0.59024705 1.42112001 -33.818665 81.424179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42112715-1.42112001) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42112715-1.42112001) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59029498--0.59024705) × cos(1.42112715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149111015884897 × 6371000     		do = 45.5328425060022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59029498--0.59024705) × cos(1.42112001) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14911807605919 × 6371000     		du = 45.5349984151566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42112715)-sin(1.42112001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149111015884897-0.14911807605919)×R²
    abs(-0.59024705--0.59029498)×7.06017429363825e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06017429363825e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06017429363825e-06×40589641000000     		ar = 2071.28977595113m²