Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53220 / 22301
↖ ↑ ↗
← N 49.735132°
E112.346191°		 ← 394.81 m → N 49.735132°
E112.351685°		 →
↑
394.81 m
↓
↑
394.81 m
↓
N 49.731581°
E112.346191°		 ← 394.84 m →
155 880 m²		 N 49.731581°
E112.351685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812080383300781 y=0.340293884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812080383300781 × 216)
    floor (0.812080383300781 × 65536)
    floor (53220.5)     		tx = 53220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340293884277344 × 216)
    floor (0.340293884277344 × 65536)
    floor (22301.5)     		ty = 22301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53220 / 22301 ti = "16/53220/22301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53220/22301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53220 ÷ 216
    53220 ÷ 65536     		x = 0.81207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22301 ÷ 216
    22301 ÷ 65536     		y = 0.340286254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81207275390625 × 2 - 1) × π
    0.6241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96081094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340286254882812 × 2 - 1) × π
    0.319427490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00351105664626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96081094} λ = 1.96081094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00351105664626))-π/2
    2×atan(2.72784264440067)-π/2
    2×1.21941906195098-π/2
    2.43883812390196-1.57079632675     		φ = 0.86804180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96081094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.346191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86804180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.735132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53220 KachelY 22301 1.96081094 0.86804180 112.346191 49.735132
    Oben rechts KachelX + 1 53221 KachelY 22301 1.96090682 0.86804180 112.351685 49.735132
    Unten links KachelX 53220 KachelY + 1 22302 1.96081094 0.86797983 112.346191 49.731581
    Unten rechts KachelX + 1 53221 KachelY + 1 22302 1.96090682 0.86797983 112.351685 49.731581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86804180-0.86797983) × R
    6.19699999999668e-05 × 6371000     		dl = 394.810869999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86804180-0.86797983) × R
    6.19699999999668e-05 × 6371000     		dr = 394.810869999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96081094-1.96090682) × cos(0.86804180) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.646322018899418 × 6371000     		do = 394.806761801038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96081094-1.96090682) × cos(0.86797983) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.646369304782345 × 6371000     		du = 394.835646452608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86804180)-sin(0.86797983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646322018899418-0.646369304782345)×R²
    abs(1.96090682-1.96081094)×4.72858829272393e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.72858829272393e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.72858829272393e-05×40589641000000     		ar = 155879.703145592m²