Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5322 / 9467
↖ ↑ ↗
← N 60.267066°
W121.530761°		 ← 605.85 m → N 60.267066°
W121.519776°		 →
↑
605.95 m
↓
↑
605.95 m
↓
N 60.261617°
W121.530761°		 ← 605.95 m →
367 143 m²		 N 60.261617°
W121.519776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162429809570312 y=0.288925170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162429809570312 × 215)
    floor (0.162429809570312 × 32768)
    floor (5322.5)     		tx = 5322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288925170898438 × 215)
    floor (0.288925170898438 × 32768)
    floor (9467.5)     		ty = 9467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5322 / 9467 ti = "15/5322/9467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5322/9467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5322 ÷ 215
    5322 ÷ 32768     		x = 0.16241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9467 ÷ 215
    9467 ÷ 32768     		y = 0.288909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.6751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12111193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288909912109375 × 2 - 1) × π
    0.42218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32631813868771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12111193} λ = -2.12111193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32631813868771))-π/2
    2×atan(3.76714770688218)-π/2
    2×1.31132753204858-π/2
    2.62265506409716-1.57079632675     		φ = 1.05185874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12111193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.530761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05185874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.267066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5322 KachelY 9467 -2.12111193 1.05185874 -121.530761 60.267066
    Oben rechts KachelX + 1 5323 KachelY 9467 -2.12092019 1.05185874 -121.519776 60.267066
    Unten links KachelX 5322 KachelY + 1 9468 -2.12111193 1.05176363 -121.530761 60.261617
    Unten rechts KachelX + 1 5323 KachelY + 1 9468 -2.12092019 1.05176363 -121.519776 60.261617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05185874-1.05176363) × R
    9.51099999999538e-05 × 6371000     		dl = 605.945809999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05185874-1.05176363) × R
    9.51099999999538e-05 × 6371000     		dr = 605.945809999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12111193--2.12092019) × cos(1.05185874) × R
    0.000191739999999996 × 0.495957875041349 × 6371000     		do = 605.850009020875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12111193--2.12092019) × cos(1.05176363) × R
    0.000191739999999996 × 0.496040461241427 × 6371000     		du = 605.950894302832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05185874)-sin(1.05176363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495957875041349-0.496040461241427)×R²
    abs(-2.12092019--2.12111193)×8.25862000781163e-05×R²
    0.000191739999999996×8.25862000781163e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.25862000781163e-05×40589641000000     		ar = 367142.840238544m²