Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5322 / 9466
↖ ↑ ↗
← N 60.272515°
W121.530761°		 ← 605.75 m → N 60.272515°
W121.519776°		 →
↑
605.82 m
↓
↑
605.82 m
↓
N 60.267066°
W121.530761°		 ← 605.85 m →
367 005 m²		 N 60.267066°
W121.519776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162429809570312 y=0.288894653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162429809570312 × 215)
    floor (0.162429809570312 × 32768)
    floor (5322.5)     		tx = 5322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288894653320312 × 215)
    floor (0.288894653320312 × 32768)
    floor (9466.5)     		ty = 9466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5322 / 9466 ti = "15/5322/9466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5322/9466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5322 ÷ 215
    5322 ÷ 32768     		x = 0.16241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9466 ÷ 215
    9466 ÷ 32768     		y = 0.28887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.6751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12111193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28887939453125 × 2 - 1) × π
    0.4222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32650988628619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12111193} λ = -2.12111193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32650988628619))-π/2
    2×atan(3.76787011766615)-π/2
    2×1.31137507745613-π/2
    2.62275015491226-1.57079632675     		φ = 1.05195383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12111193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.530761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05195383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.272515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5322 KachelY 9466 -2.12111193 1.05195383 -121.530761 60.272515
    Oben rechts KachelX + 1 5323 KachelY 9466 -2.12092019 1.05195383 -121.519776 60.272515
    Unten links KachelX 5322 KachelY + 1 9467 -2.12111193 1.05185874 -121.530761 60.267066
    Unten rechts KachelX + 1 5323 KachelY + 1 9467 -2.12092019 1.05185874 -121.519776 60.267066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05195383-1.05185874) × R
    9.50900000000754e-05 × 6371000     		dl = 605.81839000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05195383-1.05185874) × R
    9.50900000000754e-05 × 6371000     		dr = 605.81839000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12111193--2.12092019) × cos(1.05195383) × R
    0.000191739999999996 × 0.495875301722754 × 6371000     		do = 605.749139474623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12111193--2.12092019) × cos(1.05185874) × R
    0.000191739999999996 × 0.495957875041349 × 6371000     		du = 605.850009020875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05195383)-sin(1.05185874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495875301722754-0.495957875041349)×R²
    abs(-2.12092019--2.12111193)×8.25733185946809e-05×R²
    0.000191739999999996×8.25733185946809e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.25733185946809e-05×40589641000000     		ar = 367004.523010225m²