Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53218 / 22310
↖ ↑ ↗
← N 49.703168°
E112.335205°		 ← 395.07 m → N 49.703168°
E112.340698°		 →
↑
395.07 m
↓
↑
395.07 m
↓
N 49.699615°
E112.335205°		 ← 395.10 m →
156 083 m²		 N 49.699615°
E112.340698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812049865722656 y=0.340431213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812049865722656 × 216)
    floor (0.812049865722656 × 65536)
    floor (53218.5)     		tx = 53218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340431213378906 × 216)
    floor (0.340431213378906 × 65536)
    floor (22310.5)     		ty = 22310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53218 / 22310 ti = "16/53218/22310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53218/22310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53218 ÷ 216
    53218 ÷ 65536     		x = 0.812042236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22310 ÷ 216
    22310 ÷ 65536     		y = 0.340423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812042236328125 × 2 - 1) × π
    0.62408447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96061919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340423583984375 × 2 - 1) × π
    0.31915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00264819245309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96061919} λ = 1.96061919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00264819245309))-π/2
    2×atan(2.72548990185286)-π/2
    2×1.21914012608223-π/2
    2.43828025216447-1.57079632675     		φ = 0.86748393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96061919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.335205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86748393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.703168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53218 KachelY 22310 1.96061919 0.86748393 112.335205 49.703168
    Oben rechts KachelX + 1 53219 KachelY 22310 1.96071507 0.86748393 112.340698 49.703168
    Unten links KachelX 53218 KachelY + 1 22311 1.96061919 0.86742192 112.335205 49.699615
    Unten rechts KachelX + 1 53219 KachelY + 1 22311 1.96071507 0.86742192 112.340698 49.699615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86748393-0.86742192) × R
    6.20100000000567e-05 × 6371000     		dl = 395.065710000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86748393-0.86742192) × R
    6.20100000000567e-05 × 6371000     		dr = 395.065710000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96061919-1.96071507) × cos(0.86748393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.646747609248461 × 6371000     		do = 395.066734295625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96061919-1.96071507) × cos(0.86742192) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.646794903285644 × 6371000     		du = 395.095623928233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86748393)-sin(0.86742192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646747609248461-0.646794903285644)×R²
    abs(1.96071507-1.96061919)×4.72940371825104e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.72940371825104e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.72940371825104e-05×40589641000000     		ar = 156083.026583682m²