Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53216 / 11488
↖ ↑ ↗
← N 81.427045°
W 33.837890°		 ← 45.52 m → N 81.427045°
W 33.835144°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
N 81.426636°
W 33.837890°		 ← 45.52 m →
2 071 m²		 N 81.426636°
W 33.835144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406009674072266 y=0.0876502990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406009674072266 × 217)
    floor (0.406009674072266 × 131072)
    floor (53216.5)     		tx = 53216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0876502990722656 × 217)
    floor (0.0876502990722656 × 131072)
    floor (11488.5)     		ty = 11488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53216 / 11488 ti = "17/53216/11488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53216/11488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53216 ÷ 217
    53216 ÷ 131072     		x = 0.406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11488 ÷ 217
    11488 ÷ 131072     		y = 0.087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087646484375 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59089355066479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59058260} λ = -0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59089355066479))-π/2
    2×atan(13.3416877525221)-π/2
    2×1.49598318073287-π/2
    2.99196636146574-1.57079632675     		φ = 1.42117003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42117003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.427045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53216 KachelY 11488 -0.59058260 1.42117003 -33.837890 81.427045
    Oben rechts KachelX + 1 53217 KachelY 11488 -0.59053467 1.42117003 -33.835144 81.427045
    Unten links KachelX 53216 KachelY + 1 11489 -0.59058260 1.42116289 -33.837890 81.426636
    Unten rechts KachelX + 1 53217 KachelY + 1 11489 -0.59053467 1.42116289 -33.835144 81.426636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42117003-1.42116289) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dl = 45.4889400008129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42117003-1.42116289) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dr = 45.4889400008129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59058260--0.59053467) × cos(1.42117003) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.149068615126439 × 6371000     		do = 45.5198949242205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59058260--0.59053467) × cos(1.42116289) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.149075675346379 × 6371000     		du = 45.5220508473138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42117003)-sin(1.42116289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149068615126439-0.149075675346379)×R²
    abs(-0.59053467--0.59058260)×7.06021994073547e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.06021994073547e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.06021994073547e-06×40589641000000     		ar = 2070.70080423455m²