Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53214 / 22285
↖ ↑ ↗
← N 49.791904°
E112.313232°		 ← 394.30 m → N 49.791904°
E112.318725°		 →
↑
394.30 m
↓
↑
394.30 m
↓
N 49.788358°
E112.313232°		 ← 394.33 m →
155 480 m²		 N 49.788358°
E112.318725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811988830566406 y=0.340049743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811988830566406 × 216)
    floor (0.811988830566406 × 65536)
    floor (53214.5)     		tx = 53214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340049743652344 × 216)
    floor (0.340049743652344 × 65536)
    floor (22285.5)     		ty = 22285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53214 / 22285 ti = "16/53214/22285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53214/22285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53214 ÷ 216
    53214 ÷ 65536     		x = 0.811981201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22285 ÷ 216
    22285 ÷ 65536     		y = 0.340042114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811981201171875 × 2 - 1) × π
    0.62396240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96023570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340042114257812 × 2 - 1) × π
    0.319915771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0050450374341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96023570} λ = 1.96023570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0050450374341))-π/2
    2×atan(2.73203031369039)-π/2
    2×1.21991449463625-π/2
    2.43982898927249-1.57079632675     		φ = 0.86903266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96023570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.313232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86903266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.791904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53214 KachelY 22285 1.96023570 0.86903266 112.313232 49.791904
    Oben rechts KachelX + 1 53215 KachelY 22285 1.96033157 0.86903266 112.318725 49.791904
    Unten links KachelX 53214 KachelY + 1 22286 1.96023570 0.86897077 112.313232 49.788358
    Unten rechts KachelX + 1 53215 KachelY + 1 22286 1.96033157 0.86897077 112.318725 49.788358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86903266-0.86897077) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dl = 394.301190000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86903266-0.86897077) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dr = 394.301190000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96023570-1.96033157) × cos(0.86903266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645565611381508 × 6371000     		do = 394.303580164389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96023570-1.96033157) × cos(0.86897077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645612875835976 × 6371000     		du = 394.332448715134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86903266)-sin(0.86897077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645565611381508-0.645612875835976)×R²
    abs(1.96033157-1.96023570)×4.72644544682321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72644544682321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72644544682321e-05×40589641000000     		ar = 155480.062381735m²