Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53210 / 94119
↖ ↑ ↗
← S 61.489938°
W 33.854370°		 ← 145.75 m → S 61.489938°
W 33.851624°		 →
↑
145.77 m
↓
↑
145.77 m
↓
S 61.491249°
W 33.854370°		 ← 145.75 m →
21 246 m²		 S 61.491249°
W 33.851624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405963897705078 y=0.718074798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405963897705078 × 217)
    floor (0.405963897705078 × 131072)
    floor (53210.5)     		tx = 53210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718074798583984 × 217)
    floor (0.718074798583984 × 131072)
    floor (94119.5)     		ty = 94119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53210 / 94119 ti = "17/53210/94119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53210/94119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53210 ÷ 217
    53210 ÷ 131072     		x = 0.405960083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94119 ÷ 217
    94119 ÷ 131072     		y = 0.718070983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405960083007812 × 2 - 1) × π
    -0.188079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59087022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718070983886719 × 2 - 1) × π
    -0.436141967773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.37018040184006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59087022} λ = -0.59087022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37018040184006))-π/2
    2×atan(0.254061122324408)-π/2
    2×0.248797228463475-π/2
    0.497594456926951-1.57079632675     		φ = -1.07320187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59087022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.854370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07320187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.489938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53210 KachelY 94119 -0.59087022 -1.07320187 -33.854370 -61.489938
    Oben rechts KachelX + 1 53211 KachelY 94119 -0.59082229 -1.07320187 -33.851624 -61.489938
    Unten links KachelX 53210 KachelY + 1 94120 -0.59087022 -1.07322475 -33.854370 -61.491249
    Unten rechts KachelX + 1 53211 KachelY + 1 94120 -0.59082229 -1.07322475 -33.851624 -61.491249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07320187--1.07322475) × R
    2.28800000001694e-05 × 6371000     		dl = 145.768480001079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07320187--1.07322475) × R
    2.28800000001694e-05 × 6371000     		dr = 145.768480001079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59087022--0.59082229) × cos(-1.07320187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477313090741145 × 6371000     		do = 145.753294334379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59087022--0.59082229) × cos(-1.07322475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477292985198296 × 6371000     		du = 145.747154865001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07320187)-sin(-1.07322475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477313090741145-0.477292985198296)×R²
    abs(-0.59082229--0.59087022)×2.0105542849147e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0105542849147e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0105542849147e-05×40589641000000     		ar = 21245.788700583m²