Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53210 / 94044
↖ ↑ ↗
← S 61.391459°
W 33.854370°		 ← 146.21 m → S 61.391459°
W 33.851624°		 →
↑
146.21 m
↓
↑
146.21 m
↓
S 61.392774°
W 33.854370°		 ← 146.21 m →
21 378 m²		 S 61.392774°
W 33.851624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405963897705078 y=0.717502593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405963897705078 × 217)
    floor (0.405963897705078 × 131072)
    floor (53210.5)     		tx = 53210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717502593994141 × 217)
    floor (0.717502593994141 × 131072)
    floor (94044.5)     		ty = 94044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53210 / 94044 ti = "17/53210/94044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53210/94044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53210 ÷ 217
    53210 ÷ 131072     		x = 0.405960083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94044 ÷ 217
    94044 ÷ 131072     		y = 0.717498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405960083007812 × 2 - 1) × π
    -0.188079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59087022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.43499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36658513436856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59087022} λ = -0.59087022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36658513436856))-π/2
    2×atan(0.254976183973296)-π/2
    2×0.249656618969336-π/2
    0.499313237938671-1.57079632675     		φ = -1.07148309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59087022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.854370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07148309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.391459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53210 KachelY 94044 -0.59087022 -1.07148309 -33.854370 -61.391459
    Oben rechts KachelX + 1 53211 KachelY 94044 -0.59082229 -1.07148309 -33.851624 -61.391459
    Unten links KachelX 53210 KachelY + 1 94045 -0.59087022 -1.07150604 -33.854370 -61.392774
    Unten rechts KachelX + 1 53211 KachelY + 1 94045 -0.59082229 -1.07150604 -33.851624 -61.392774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07148309--1.07150604) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dl = 146.214449999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07148309--1.07150604) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dr = 146.214449999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59087022--0.59082229) × cos(-1.07148309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478822734179619 × 6371000     		do = 146.214282119328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59087022--0.59082229) × cos(-1.07150604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478802585982148 × 6371000     		du = 146.208129624848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07148309)-sin(-1.07150604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478822734179619-0.478802585982148)×R²
    abs(-0.59082229--0.59087022)×2.01481974712592e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01481974712592e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01481974712592e-05×40589641000000     		ar = 21378.1910512464m²