Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53209 / 94121
↖ ↑ ↗
← S 61.492560°
W 33.857117°		 ← 145.77 m → S 61.492560°
W 33.854370°		 →
↑
145.77 m
↓
↑
145.77 m
↓
S 61.493871°
W 33.857117°		 ← 145.77 m →
21 248 m²		 S 61.493871°
W 33.854370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405956268310547 y=0.718090057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405956268310547 × 217)
    floor (0.405956268310547 × 131072)
    floor (53209.5)     		tx = 53209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718090057373047 × 217)
    floor (0.718090057373047 × 131072)
    floor (94121.5)     		ty = 94121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53209 / 94121 ti = "17/53209/94121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53209/94121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53209 ÷ 217
    53209 ÷ 131072     		x = 0.405952453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94121 ÷ 217
    94121 ÷ 131072     		y = 0.718086242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405952453613281 × 2 - 1) × π
    -0.188095092773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.59091816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718086242675781 × 2 - 1) × π
    -0.436172485351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.37027627563931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59091816} λ = -0.59091816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37027627563931))-π/2
    2×atan(0.254036765686972)-π/2
    2×0.248774348517562-π/2
    0.497548697035125-1.57079632675     		φ = -1.07324763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59091816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.857117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07324763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.492560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53209 KachelY 94121 -0.59091816 -1.07324763 -33.857117 -61.492560
    Oben rechts KachelX + 1 53210 KachelY 94121 -0.59087022 -1.07324763 -33.854370 -61.492560
    Unten links KachelX 53209 KachelY + 1 94122 -0.59091816 -1.07327051 -33.857117 -61.493871
    Unten rechts KachelX + 1 53210 KachelY + 1 94122 -0.59087022 -1.07327051 -33.854370 -61.493871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07324763--1.07327051) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dl = 145.768479999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07324763--1.07327051) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dr = 145.768479999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59091816--0.59087022) × cos(-1.07324763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477272879405586 × 6371000     		do = 145.771422374286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59091816--0.59087022) × cos(-1.07327051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477252773363028 × 6371000     		du = 145.765281471359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07324763)-sin(-1.07327051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477272879405586-0.477252773363028)×R²
    abs(-0.59087022--0.59091816)×2.01060425588651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01060425588651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01060425588651e-05×40589641000000     		ar = 21248.4310927668m²