Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53207 / 94042
↖ ↑ ↗
← S 61.388828°
W 33.862610°		 ← 146.26 m → S 61.388828°
W 33.859863°		 →
↑
146.28 m
↓
↑
146.28 m
↓
S 61.390144°
W 33.862610°		 ← 146.25 m →
21 394 m²		 S 61.390144°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405941009521484 y=0.717487335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405941009521484 × 217)
    floor (0.405941009521484 × 131072)
    floor (53207.5)     		tx = 53207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717487335205078 × 217)
    floor (0.717487335205078 × 131072)
    floor (94042.5)     		ty = 94042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53207 / 94042 ti = "17/53207/94042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53207/94042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53207 ÷ 217
    53207 ÷ 131072     		x = 0.405937194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94042 ÷ 217
    94042 ÷ 131072     		y = 0.717483520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405937194824219 × 2 - 1) × π
    -0.188125610351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.59101404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717483520507812 × 2 - 1) × π
    -0.434967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36648926056932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59101404} λ = -0.59101404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36648926056932))-π/2
    2×atan(0.255000630680649)-π/2
    2×0.249679573212721-π/2
    0.499359146425442-1.57079632675     		φ = -1.07143718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59101404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.862610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07143718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.388828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53207 KachelY 94042 -0.59101404 -1.07143718 -33.862610 -61.388828
    Oben rechts KachelX + 1 53208 KachelY 94042 -0.59096610 -1.07143718 -33.859863 -61.388828
    Unten links KachelX 53207 KachelY + 1 94043 -0.59101404 -1.07146014 -33.862610 -61.390144
    Unten rechts KachelX + 1 53208 KachelY + 1 94043 -0.59096610 -1.07146014 -33.859863 -61.390144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07143718--1.07146014) × R
    2.29599999999053e-05 × 6371000     		dl = 146.278159999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07143718--1.07146014) × R
    2.29599999999053e-05 × 6371000     		dr = 146.278159999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59101404--0.59096610) × cos(-1.07143718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478863038596856 × 6371000     		do = 146.257097921997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59101404--0.59096610) × cos(-1.07146014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478842882124894 × 6371000     		du = 146.250941616632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07143718)-sin(-1.07146014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478863038596856-0.478842882124894)×R²
    abs(-0.59096610--0.59101404)×2.01564719625735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01564719625735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01564719625735e-05×40589641000000     		ar = 21393.7689051436m²