Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53206 / 94117
↖ ↑ ↗
← S 61.487316°
W 33.865356°		 ← 145.77 m → S 61.487316°
W 33.862610°		 →
↑
145.77 m
↓
↑
145.77 m
↓
S 61.488627°
W 33.865356°		 ← 145.76 m →
21 248 m²		 S 61.488627°
W 33.862610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405933380126953 y=0.718059539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405933380126953 × 217)
    floor (0.405933380126953 × 131072)
    floor (53206.5)     		tx = 53206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718059539794922 × 217)
    floor (0.718059539794922 × 131072)
    floor (94117.5)     		ty = 94117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53206 / 94117 ti = "17/53206/94117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53206/94117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53206 ÷ 217
    53206 ÷ 131072     		x = 0.405929565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94117 ÷ 217
    94117 ÷ 131072     		y = 0.718055725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.188140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59106197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718055725097656 × 2 - 1) × π
    -0.436111450195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.37008452804082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59106197} λ = -0.59106197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37008452804082))-π/2
    2×atan(0.25408548129712)-π/2
    2×0.248820110337048-π/2
    0.497640220674096-1.57079632675     		φ = -1.07315611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59106197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.865356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07315611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.487316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53206 KachelY 94117 -0.59106197 -1.07315611 -33.865356 -61.487316
    Oben rechts KachelX + 1 53207 KachelY 94117 -0.59101404 -1.07315611 -33.862610 -61.487316
    Unten links KachelX 53206 KachelY + 1 94118 -0.59106197 -1.07317899 -33.865356 -61.488627
    Unten rechts KachelX + 1 53207 KachelY + 1 94118 -0.59101404 -1.07317899 -33.862610 -61.488627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07315611--1.07317899) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dl = 145.768479999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07315611--1.07317899) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dr = 145.768479999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59106197--0.59101404) × cos(-1.07315611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.47735330107722 × 6371000     		do = 145.76557304423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59106197--0.59101404) × cos(-1.07317899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477333196034123 × 6371000     		du = 145.759433727457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07315611)-sin(-1.07317899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47735330107722-0.477333196034123)×R²
    abs(-0.59101404--0.59106197)×2.01050430970184e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01050430970184e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01050430970184e-05×40589641000000     		ar = 21247.5785602951m²