Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53205 / 94214
↖ ↑ ↗
← S 61.614232°
W 33.868103°		 ← 145.20 m → S 61.614232°
W 33.865356°		 →
↑
145.20 m
↓
↑
145.20 m
↓
S 61.615538°
W 33.868103°		 ← 145.20 m →
21 082 m²		 S 61.615538°
W 33.865356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405925750732422 y=0.718799591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405925750732422 × 217)
    floor (0.405925750732422 × 131072)
    floor (53205.5)     		tx = 53205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718799591064453 × 217)
    floor (0.718799591064453 × 131072)
    floor (94214.5)     		ty = 94214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53205 / 94214 ti = "17/53205/94214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53205/94214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53205 ÷ 217
    53205 ÷ 131072     		x = 0.405921936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94214 ÷ 217
    94214 ÷ 131072     		y = 0.718795776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405921936035156 × 2 - 1) × π
    -0.188156127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.59110991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718795776367188 × 2 - 1) × π
    -0.437591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37473440730397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59110991} λ = -0.59110991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37473440730397))-π/2
    2×atan(0.252906757073036)-π/2
    2×0.247712557846115-π/2
    0.495425115692229-1.57079632675     		φ = -1.07537121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59110991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.868103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07537121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.614232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53205 KachelY 94214 -0.59110991 -1.07537121 -33.868103 -61.614232
    Oben rechts KachelX + 1 53206 KachelY 94214 -0.59106197 -1.07537121 -33.865356 -61.614232
    Unten links KachelX 53205 KachelY + 1 94215 -0.59110991 -1.07539400 -33.868103 -61.615538
    Unten rechts KachelX + 1 53206 KachelY + 1 94215 -0.59106197 -1.07539400 -33.865356 -61.615538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07537121--1.07539400) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dl = 145.19509000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07537121--1.07539400) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dr = 145.19509000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59110991--0.59106197) × cos(-1.07537121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47540569781234 × 6371000     		do = 145.201137054455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59110991--0.59106197) × cos(-1.07539400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475385647806099 × 6371000     		du = 145.195013266462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07537121)-sin(-1.07539400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47540569781234-0.475385647806099)×R²
    abs(-0.59106197--0.59110991)×2.00500062402797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00500062402797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00500062402797e-05×40589641000000     		ar = 21082.0475916734m²