Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53205 / 94015
↖ ↑ ↗
← S 61.353297°
W 33.868103°		 ← 146.42 m → S 61.353297°
W 33.865356°		 →
↑
146.41 m
↓
↑
146.41 m
↓
S 61.354614°
W 33.868103°		 ← 146.42 m →
21 437 m²		 S 61.354614°
W 33.865356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405925750732422 y=0.717281341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405925750732422 × 217)
    floor (0.405925750732422 × 131072)
    floor (53205.5)     		tx = 53205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717281341552734 × 217)
    floor (0.717281341552734 × 131072)
    floor (94015.5)     		ty = 94015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53205 / 94015 ti = "17/53205/94015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53205/94015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53205 ÷ 217
    53205 ÷ 131072     		x = 0.405921936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94015 ÷ 217
    94015 ÷ 131072     		y = 0.717277526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405921936035156 × 2 - 1) × π
    -0.188156127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.59110991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717277526855469 × 2 - 1) × π
    -0.434555053710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.36519496427958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59110991} λ = -0.59110991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36519496427958))-π/2
    2×atan(0.255330890731896)-π/2
    2×0.24998964464559-π/2
    0.49997928929118-1.57079632675     		φ = -1.07081704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59110991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.868103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07081704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.353297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53205 KachelY 94015 -0.59110991 -1.07081704 -33.868103 -61.353297
    Oben rechts KachelX + 1 53206 KachelY 94015 -0.59106197 -1.07081704 -33.865356 -61.353297
    Unten links KachelX 53205 KachelY + 1 94016 -0.59110991 -1.07084002 -33.868103 -61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 53206 KachelY + 1 94016 -0.59106197 -1.07084002 -33.865356 -61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07081704--1.07084002) × R
    2.29799999997837e-05 × 6371000     		dl = 146.405579998622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07081704--1.07084002) × R
    2.29799999997837e-05 × 6371000     		dr = 146.405579998622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59110991--0.59106197) × cos(-1.07081704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479407360953759 × 6371000     		do = 146.423347980653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59110991--0.59106197) × cos(-1.07084002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 146.417188398043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07081704)-sin(-1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479407360953759-0.479387193751709)×R²
    abs(-0.59106197--0.59110991)×2.01672020502808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01672020502808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01672020502808e-05×40589641000000     		ar = 21436.7442887016m²