Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53204 / 94133
↖ ↑ ↗
← S 61.508286°
W 33.870850°		 ← 145.70 m → S 61.508286°
W 33.868103°		 →
↑
145.70 m
↓
↑
145.70 m
↓
S 61.509596°
W 33.870850°		 ← 145.69 m →
21 228 m²		 S 61.509596°
W 33.868103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405918121337891 y=0.718181610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405918121337891 × 217)
    floor (0.405918121337891 × 131072)
    floor (53204.5)     		tx = 53204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718181610107422 × 217)
    floor (0.718181610107422 × 131072)
    floor (94133.5)     		ty = 94133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53204 / 94133 ti = "17/53204/94133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53204/94133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53204 ÷ 217
    53204 ÷ 131072     		x = 0.405914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94133 ÷ 217
    94133 ÷ 131072     		y = 0.718177795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718177795410156 × 2 - 1) × π
    -0.436355590820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.37085151843475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59115785} λ = -0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37085151843475))-π/2
    2×atan(0.253890674890601)-π/2
    2×0.24863710931652-π/2
    0.49727421863304-1.57079632675     		φ = -1.07352211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07352211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.508286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53204 KachelY 94133 -0.59115785 -1.07352211 -33.870850 -61.508286
    Oben rechts KachelX + 1 53205 KachelY 94133 -0.59110991 -1.07352211 -33.868103 -61.508286
    Unten links KachelX 53204 KachelY + 1 94134 -0.59115785 -1.07354498 -33.870850 -61.509596
    Unten rechts KachelX + 1 53205 KachelY + 1 94134 -0.59110991 -1.07354498 -33.868103 -61.509596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07352211--1.07354498) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dl = 145.704770000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07352211--1.07354498) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dr = 145.704770000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59115785--0.59110991) × cos(-1.07352211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477031660718701 × 6371000     		do = 145.697747978343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59115785--0.59110991) × cos(-1.07354498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47701156046861 × 6371000     		du = 145.691608844585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07352211)-sin(-1.07354498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477031660718701-0.47701156046861)×R²
    abs(-0.59110991--0.59115785)×2.01002500906933e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01002500906933e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01002500906933e-05×40589641000000     		ar = 21228.4096091195m²