Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53204 / 94118
↖ ↑ ↗
← S 61.488627°
W 33.870850°		 ← 145.79 m → S 61.488627°
W 33.868103°		 →
↑
145.77 m
↓
↑
145.77 m
↓
S 61.489938°
W 33.870850°		 ← 145.78 m →
21 251 m²		 S 61.489938°
W 33.868103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405918121337891 y=0.718067169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405918121337891 × 217)
    floor (0.405918121337891 × 131072)
    floor (53204.5)     		tx = 53204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718067169189453 × 217)
    floor (0.718067169189453 × 131072)
    floor (94118.5)     		ty = 94118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53204 / 94118 ti = "17/53204/94118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53204/94118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53204 ÷ 217
    53204 ÷ 131072     		x = 0.405914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94118 ÷ 217
    94118 ÷ 131072     		y = 0.718063354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718063354492188 × 2 - 1) × π
    -0.436126708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37013246494044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59115785} λ = -0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37013246494044))-π/2
    2×atan(0.25407330151884)-π/2
    2×0.248808669159297-π/2
    0.497617338318594-1.57079632675     		φ = -1.07317899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07317899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.488627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53204 KachelY 94118 -0.59115785 -1.07317899 -33.870850 -61.488627
    Oben rechts KachelX + 1 53205 KachelY 94118 -0.59110991 -1.07317899 -33.868103 -61.488627
    Unten links KachelX 53204 KachelY + 1 94119 -0.59115785 -1.07320187 -33.870850 -61.489938
    Unten rechts KachelX + 1 53205 KachelY + 1 94119 -0.59110991 -1.07320187 -33.868103 -61.489938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07317899--1.07320187) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dl = 145.768479999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07317899--1.07320187) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dr = 145.768479999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59115785--0.59110991) × cos(-1.07317899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477333196034123 × 6371000     		do = 145.789844625192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59115785--0.59110991) × cos(-1.07320187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477313090741145 × 6371000     		du = 145.783703951206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07317899)-sin(-1.07320187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477333196034123-0.477313090741145)×R²
    abs(-0.59110991--0.59115785)×2.01052929783008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01052929783008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01052929783008e-05×40589641000000     		ar = 21251.1164930351m²