Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53204 / 22362
↖ ↑ ↗
← N 49.518076°
E112.258301°		 ← 396.57 m → N 49.518076°
E112.263794°		 →
↑
396.53 m
↓
↑
396.53 m
↓
N 49.514510°
E112.258301°		 ← 396.60 m →
157 258 m²		 N 49.514510°
E112.263794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811836242675781 y=0.341224670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811836242675781 × 216)
    floor (0.811836242675781 × 65536)
    floor (53204.5)     		tx = 53204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341224670410156 × 216)
    floor (0.341224670410156 × 65536)
    floor (22362.5)     		ty = 22362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53204 / 22362 ti = "16/53204/22362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53204/22362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53204 ÷ 216
    53204 ÷ 65536     		x = 0.81182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22362 ÷ 216
    22362 ÷ 65536     		y = 0.341217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81182861328125 × 2 - 1) × π
    0.6236572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95927696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341217041015625 × 2 - 1) × π
    0.31756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.997662754892609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95927696} λ = 1.95927696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997662754892609))-π/2
    2×atan(2.71193595637302)-π/2
    2×1.21752490003052-π/2
    2.43504980006104-1.57079632675     		φ = 0.86425347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95927696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86425347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.518076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53204 KachelY 22362 1.95927696 0.86425347 112.258301 49.518076
    Oben rechts KachelX + 1 53205 KachelY 22362 1.95937284 0.86425347 112.263794 49.518076
    Unten links KachelX 53204 KachelY + 1 22363 1.95927696 0.86419123 112.258301 49.514510
    Unten rechts KachelX + 1 53205 KachelY + 1 22363 1.95937284 0.86419123 112.263794 49.514510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86425347-0.86419123) × R
    6.22399999999912e-05 × 6371000     		dl = 396.531039999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86425347-0.86419123) × R
    6.22399999999912e-05 × 6371000     		dr = 396.531039999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95927696-1.95937284) × cos(0.86425347) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.649208115335121 × 6371000     		do = 396.569738080209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95927696-1.95937284) × cos(0.86419123) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.649255454495213 × 6371000     		du = 396.598655276213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86425347)-sin(0.86419123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649208115335121-0.649255454495213)×R²
    abs(1.95937284-1.95927696)×4.73391600916973e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73391600916973e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73391600916973e-05×40589641000000     		ar = 157257.944007435m²