Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53203 / 94217
↖ ↑ ↗
← S 61.618149°
W 33.873596°		 ← 145.15 m → S 61.618149°
W 33.870850°		 →
↑
145.13 m
↓
↑
145.13 m
↓
S 61.619454°
W 33.873596°		 ← 145.15 m →
21 066 m²		 S 61.619454°
W 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405910491943359 y=0.718822479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405910491943359 × 217)
    floor (0.405910491943359 × 131072)
    floor (53203.5)     		tx = 53203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718822479248047 × 217)
    floor (0.718822479248047 × 131072)
    floor (94217.5)     		ty = 94217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53203 / 94217 ti = "17/53203/94217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53203/94217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53203 ÷ 217
    53203 ÷ 131072     		x = 0.405906677246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94217 ÷ 217
    94217 ÷ 131072     		y = 0.718818664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405906677246094 × 2 - 1) × π
    -0.188186645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.59120578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718818664550781 × 2 - 1) × π
    -0.437637329101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.37487821800283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59120578} λ = -0.59120578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37487821800283))-π/2
    2×atan(0.252870388990677)-π/2
    2×0.247678375795788-π/2
    0.495356751591577-1.57079632675     		φ = -1.07543958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59120578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.873596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07543958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.618149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53203 KachelY 94217 -0.59120578 -1.07543958 -33.873596 -61.618149
    Oben rechts KachelX + 1 53204 KachelY 94217 -0.59115785 -1.07543958 -33.870850 -61.618149
    Unten links KachelX 53203 KachelY + 1 94218 -0.59120578 -1.07546236 -33.873596 -61.619454
    Unten rechts KachelX + 1 53204 KachelY + 1 94218 -0.59115785 -1.07546236 -33.870850 -61.619454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07543958--1.07546236) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dl = 145.131379999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07543958--1.07546236) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dr = 145.131379999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59120578--0.59115785) × cos(-1.07543958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.475345547052906 × 6371000     		do = 145.152481199625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59120578--0.59115785) × cos(-1.07546236) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.475325505104074 × 6371000     		du = 145.146361149444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07543958)-sin(-1.07546236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475345547052906-0.475325505104074)×R²
    abs(-0.59115785--0.59120578)×2.00419488319281e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00419488319281e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00419488319281e-05×40589641000000     		ar = 21065.7358020204m²