Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53202 / 94154
↖ ↑ ↗
← S 61.535788°
W 33.876343°		 ← 145.57 m → S 61.535788°
W 33.873596°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
S 61.537097°
W 33.876343°		 ← 145.56 m →
21 191 m²		 S 61.537097°
W 33.873596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405902862548828 y=0.718341827392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405902862548828 × 217)
    floor (0.405902862548828 × 131072)
    floor (53202.5)     		tx = 53202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718341827392578 × 217)
    floor (0.718341827392578 × 131072)
    floor (94154.5)     		ty = 94154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53202 / 94154 ti = "17/53202/94154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53202/94154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53202 ÷ 217
    53202 ÷ 131072     		x = 0.405899047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94154 ÷ 217
    94154 ÷ 131072     		y = 0.718338012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405899047851562 × 2 - 1) × π
    -0.188201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59125372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.436676025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37185819332677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59125372} λ = -0.59125372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37185819332677))-π/2
    2×atan(0.253635218125399)-π/2
    2×0.248397107613875-π/2
    0.496794215227751-1.57079632675     		φ = -1.07400211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59125372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.876343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07400211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.535788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53202 KachelY 94154 -0.59125372 -1.07400211 -33.876343 -61.535788
    Oben rechts KachelX + 1 53203 KachelY 94154 -0.59120578 -1.07400211 -33.873596 -61.535788
    Unten links KachelX 53202 KachelY + 1 94155 -0.59125372 -1.07402496 -33.876343 -61.537097
    Unten rechts KachelX + 1 53203 KachelY + 1 94155 -0.59120578 -1.07402496 -33.873596 -61.537097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07400211--1.07402496) × R
    2.28500000001297e-05 × 6371000     		dl = 145.577350000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07400211--1.07402496) × R
    2.28500000001297e-05 × 6371000     		dr = 145.577350000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59125372--0.59120578) × cos(-1.07400211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476609740447967 × 6371000     		do = 145.568882667433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59125372--0.59120578) × cos(-1.07402496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476589652546157 × 6371000     		du = 145.562747305157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07400211)-sin(-1.07402496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476609740447967-0.476589652546157)×R²
    abs(-0.59120578--0.59125372)×2.00879018099065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00879018099065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00879018099065e-05×40589641000000     		ar = 21191.0855974634m²