Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53201 / 94187
↖ ↑ ↗
← S 61.578956°
W 33.879090°		 ← 145.37 m → S 61.578956°
W 33.876343°		 →
↑
145.39 m
↓
↑
145.39 m
↓
S 61.580264°
W 33.879090°		 ← 145.36 m →
21 134 m²		 S 61.580264°
W 33.876343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405895233154297 y=0.718593597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405895233154297 × 217)
    floor (0.405895233154297 × 131072)
    floor (53201.5)     		tx = 53201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718593597412109 × 217)
    floor (0.718593597412109 × 131072)
    floor (94187.5)     		ty = 94187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53201 / 94187 ti = "17/53201/94187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53201/94187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53201 ÷ 217
    53201 ÷ 131072     		x = 0.405891418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94187 ÷ 217
    94187 ÷ 131072     		y = 0.718589782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405891418457031 × 2 - 1) × π
    -0.188217163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59130166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718589782714844 × 2 - 1) × π
    -0.437179565429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.37344011101423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59130166} λ = -0.59130166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37344011101423))-π/2
    2×atan(0.253234305276852)-π/2
    2×0.248020390969715-π/2
    0.49604078193943-1.57079632675     		φ = -1.07475554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59130166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.879090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07475554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.578956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53201 KachelY 94187 -0.59130166 -1.07475554 -33.879090 -61.578956
    Oben rechts KachelX + 1 53202 KachelY 94187 -0.59125372 -1.07475554 -33.876343 -61.578956
    Unten links KachelX 53201 KachelY + 1 94188 -0.59130166 -1.07477836 -33.879090 -61.580264
    Unten rechts KachelX + 1 53202 KachelY + 1 94188 -0.59125372 -1.07477836 -33.876343 -61.580264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07475554--1.07477836) × R
    2.282000000009e-05 × 6371000     		dl = 145.386220000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07475554--1.07477836) × R
    2.282000000009e-05 × 6371000     		dr = 145.386220000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59130166--0.59125372) × cos(-1.07475554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475947253632778 × 6371000     		do = 145.366542141664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59130166--0.59125372) × cos(-1.07477836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47592718391613 × 6371000     		du = 145.360412333605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07475554)-sin(-1.07477836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475947253632778-0.47592718391613)×R²
    abs(-0.59125372--0.59130166)×2.00697166478081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00697166478081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00697166478081e-05×40589641000000     		ar = 21133.8464828202m²