Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5320 / 2898
↖ ↑ ↗
← N 81.384359°
W121.552734°		 ← 183.01 m → N 81.384359°
W121.541748°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 81.382713°
W121.552734°		 ← 183.04 m →
33 501 m²		 N 81.382713°
W121.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162368774414062 y=0.0884552001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162368774414062 × 215)
    floor (0.162368774414062 × 32768)
    floor (5320.5)     		tx = 5320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884552001953125 × 215)
    floor (0.0884552001953125 × 32768)
    floor (2898.5)     		ty = 2898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5320 / 2898 ti = "15/5320/2898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5320/2898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5320 ÷ 215
    5320 ÷ 32768     		x = 0.162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2898 ÷ 215
    2898 ÷ 32768     		y = 0.08843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.67529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12149543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08843994140625 × 2 - 1) × π
    0.8231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58590811310431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12149543} λ = -2.12149543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58590811310431))-π/2
    2×atan(13.2753391271671)-π/2
    2×1.49561067722493-π/2
    2.99122135444986-1.57079632675     		φ = 1.42042503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12149543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42042503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.384359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5320 KachelY 2898 -2.12149543 1.42042503 -121.552734 81.384359
    Oben rechts KachelX + 1 5321 KachelY 2898 -2.12130368 1.42042503 -121.541748 81.384359
    Unten links KachelX 5320 KachelY + 1 2899 -2.12149543 1.42039630 -121.552734 81.382713
    Unten rechts KachelX + 1 5321 KachelY + 1 2899 -2.12130368 1.42039630 -121.541748 81.382713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42042503-1.42039630) × R
    2.87300000001434e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42042503-1.42039630) × R
    2.87300000001434e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12149543--2.12130368) × cos(1.42042503) × R
    0.000191749999999935 × 0.14980524969642 × 6371000     		do = 183.007972885135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12149543--2.12130368) × cos(1.42039630) × R
    0.000191749999999935 × 0.149833655431591 × 6371000     		du = 183.042674446146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42042503)-sin(1.42039630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14980524969642-0.149833655431591)×R²
    abs(-2.12130368--2.12149543)×2.84057351717382e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84057351717382e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84057351717382e-05×40589641000000     		ar = 33500.7411064402m²