Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5320 / 11480
↖ ↑ ↗
← S 58.355631°
W 63.105469°		 ← 1 281.85 m → S 58.355631°
W 63.083496°		 →
↑
1 281.59 m
↓
↑
1 281.59 m
↓
S 58.367156°
W 63.105469°		 ← 1 281.44 m →
1 642 544 m²		 S 58.367156°
W 63.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324737548828125 y=0.700714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324737548828125 × 214)
    floor (0.324737548828125 × 16384)
    floor (5320.5)     		tx = 5320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700714111328125 × 214)
    floor (0.700714111328125 × 16384)
    floor (11480.5)     		ty = 11480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5320 / 11480 ti = "14/5320/11480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5320/11480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5320 ÷ 214
    5320 ÷ 16384     		x = 0.32470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11480 ÷ 214
    11480 ÷ 16384     		y = 0.70068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10139821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10139821} λ = -1.10139821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26093220760596))-π/2
    2×atan(0.283389725269755)-π/2
    2×0.276149219953002-π/2
    0.552298439906003-1.57079632675     		φ = -1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10139821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5320 KachelY 11480 -1.10139821 -1.01849789 -63.105469 -58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 5321 KachelY 11480 -1.10101471 -1.01849789 -63.083496 -58.355631
    Unten links KachelX 5320 KachelY + 1 11481 -1.10139821 -1.01869905 -63.105469 -58.367156
    Unten rechts KachelX + 1 5321 KachelY + 1 11481 -1.10101471 -1.01869905 -63.083496 -58.367156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01849789--1.01869905) × R
    0.000201160000000034 × 6371000     		dl = 1281.59036000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01849789--1.01869905) × R
    0.000201160000000034 × 6371000     		dr = 1281.59036000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10139821--1.10101471) × cos(-1.01849789) × R
    0.00038349999999987 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 1281.85463123118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10139821--1.10101471) × cos(-1.01869905) × R
    0.00038349999999987 × 0.524474057979347 × 6371000     		du = 1281.43618966826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01849789)-sin(-1.01869905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.524474057979347)×R²
    abs(-1.10101471--1.10139821)×0.000171262327614219×R²
    0.00038349999999987×0.000171262327614219×6371000²
    0.00038349999999987×0.000171262327614219×40589641000000     		ar = 1642544.40850914m²