Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 532 / 156
↖ ↑ ↗
← N 82.021378°
W 86.484375°		 ← 2 713.06 m → N 82.021378°
W 86.308594°		 →
↑
2 717.17 m
↓
↑
2 717.17 m
↓
N 81.996942°
W 86.484375°		 ← 2 721.32 m →
7 383 056 m²		 N 81.996942°
W 86.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260009765625 y=0.076416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260009765625 × 211)
    floor (0.260009765625 × 2048)
    floor (532.5)     		tx = 532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.076416015625 × 211)
    floor (0.076416015625 × 2048)
    floor (156.5)     		ty = 156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 532 / 156 ti = "11/532/156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/532/156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 532 ÷ 211
    532 ÷ 2048     		x = 0.259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 156 ÷ 211
    156 ÷ 2048     		y = 0.076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259765625 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50943710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.076171875 × 2 - 1) × π
    0.84765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.66299064769336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50943710} λ = -1.50943710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66299064769336))-π/2
    2×atan(14.3391082592917)-π/2
    2×1.50116971512383-π/2
    3.00233943024767-1.57079632675     		φ = 1.43154310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50943710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43154310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.021378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 532 KachelY 156 -1.50943710 1.43154310 -86.484375 82.021378
    Oben rechts KachelX + 1 533 KachelY 156 -1.50636913 1.43154310 -86.308594 82.021378
    Unten links KachelX 532 KachelY + 1 157 -1.50943710 1.43111661 -86.484375 81.996942
    Unten rechts KachelX + 1 533 KachelY + 1 157 -1.50636913 1.43111661 -86.308594 81.996942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43154310-1.43111661) × R
    0.000426490000000168 × 6371000     		dl = 2717.16779000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43154310-1.43111661) × R
    0.000426490000000168 × 6371000     		dr = 2717.16779000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50943710--1.50636913) × cos(1.43154310) × R
    0.00306797000000003 × 0.138803609030212 × 6371000     		do = 2713.06045979361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50943710--1.50636913) × cos(1.43111661) × R
    0.00306797000000003 × 0.139225957939388 × 6371000     		du = 2721.31570714438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43154310)-sin(1.43111661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138803609030212-0.139225957939388)×R²
    abs(-1.50636913--1.50943710)×0.000422348909176112×R²
    0.00306797000000003×0.000422348909176112×6371000²
    0.00306797000000003×0.000422348909176112×40589641000000     		ar = 7383056.05169388m²