Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53199 / 94149
↖ ↑ ↗
← S 61.529242°
W 33.884582°		 ← 145.60 m → S 61.529242°
W 33.881836°		 →
↑
145.64 m
↓
↑
145.64 m
↓
S 61.530552°
W 33.884582°		 ← 145.59 m →
21 205 m²		 S 61.530552°
W 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405879974365234 y=0.718303680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405879974365234 × 217)
    floor (0.405879974365234 × 131072)
    floor (53199.5)     		tx = 53199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718303680419922 × 217)
    floor (0.718303680419922 × 131072)
    floor (94149.5)     		ty = 94149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53199 / 94149 ti = "17/53199/94149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53199/94149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53199 ÷ 217
    53199 ÷ 131072     		x = 0.405876159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94149 ÷ 217
    94149 ÷ 131072     		y = 0.718299865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405876159667969 × 2 - 1) × π
    -0.188247680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59139753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718299865722656 × 2 - 1) × π
    -0.436599731445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.37161850882867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59139753} λ = -0.59139753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37161850882867))-π/2
    2×atan(0.25369601784144)-π/2
    2×0.248454231614895-π/2
    0.49690846322979-1.57079632675     		φ = -1.07388786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59139753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.884582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07388786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.529242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53199 KachelY 94149 -0.59139753 -1.07388786 -33.884582 -61.529242
    Oben rechts KachelX + 1 53200 KachelY 94149 -0.59134959 -1.07388786 -33.881836 -61.529242
    Unten links KachelX 53199 KachelY + 1 94150 -0.59139753 -1.07391072 -33.884582 -61.530552
    Unten rechts KachelX + 1 53200 KachelY + 1 94150 -0.59134959 -1.07391072 -33.881836 -61.530552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07388786--1.07391072) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dl = 145.641060000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07388786--1.07391072) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dr = 145.641060000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59139753--0.59134959) × cos(-1.07388786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476710176224076 × 6371000     		do = 145.599558338673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59139753--0.59134959) × cos(-1.07391072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4766900807759 × 6371000     		du = 145.593420671544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07388786)-sin(-1.07391072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476710176224076-0.4766900807759)×R²
    abs(-0.59134959--0.59139753)×2.00954481758275e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00954481758275e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00954481758275e-05×40589641000000     		ar = 21204.827064931m²