Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53198 / 94190
↖ ↑ ↗
← S 61.582878°
W 33.887329°		 ← 145.35 m → S 61.582878°
W 33.884582°		 →
↑
145.32 m
↓
↑
145.32 m
↓
S 61.584185°
W 33.887329°		 ← 145.34 m →
21 122 m²		 S 61.584185°
W 33.884582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405872344970703 y=0.718616485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405872344970703 × 217)
    floor (0.405872344970703 × 131072)
    floor (53198.5)     		tx = 53198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718616485595703 × 217)
    floor (0.718616485595703 × 131072)
    floor (94190.5)     		ty = 94190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53198 / 94190 ti = "17/53198/94190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53198/94190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53198 ÷ 217
    53198 ÷ 131072     		x = 0.405868530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94190 ÷ 217
    94190 ÷ 131072     		y = 0.718612670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405868530273438 × 2 - 1) × π
    -0.188262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59144547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718612670898438 × 2 - 1) × π
    -0.437225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37358392171309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59144547} λ = -0.59144547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37358392171309))-π/2
    2×atan(0.253197890092945)-π/2
    2×0.247986169980608-π/2
    0.495972339961217-1.57079632675     		φ = -1.07482399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59144547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.887329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07482399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.582878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53198 KachelY 94190 -0.59144547 -1.07482399 -33.887329 -61.582878
    Oben rechts KachelX + 1 53199 KachelY 94190 -0.59139753 -1.07482399 -33.884582 -61.582878
    Unten links KachelX 53198 KachelY + 1 94191 -0.59144547 -1.07484680 -33.887329 -61.584185
    Unten rechts KachelX + 1 53199 KachelY + 1 94191 -0.59139753 -1.07484680 -33.884582 -61.584185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07482399--1.07484680) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dl = 145.322509999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07482399--1.07484680) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dr = 145.322509999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59144547--0.59139753) × cos(-1.07482399) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475887052534389 × 6371000     		do = 145.348155176976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59144547--0.59139753) × cos(-1.07484680) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475866990869533 × 6371000     		du = 145.342027828142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07482399)-sin(-1.07484680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475887052534389-0.475866990869533)×R²
    abs(-0.59139753--0.59144547)×2.00616648557417e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00616648557417e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00616648557417e-05×40589641000000     		ar = 21121.9135142778m²