Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53197 / 94191
↖ ↑ ↗
← S 61.584185°
W 33.890075°		 ← 145.31 m → S 61.584185°
W 33.887329°		 →
↑
145.32 m
↓
↑
145.32 m
↓
S 61.585492°
W 33.890075°		 ← 145.31 m →
21 117 m²		 S 61.585492°
W 33.887329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405864715576172 y=0.718624114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405864715576172 × 217)
    floor (0.405864715576172 × 131072)
    floor (53197.5)     		tx = 53197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718624114990234 × 217)
    floor (0.718624114990234 × 131072)
    floor (94191.5)     		ty = 94191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53197 / 94191 ti = "17/53197/94191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53197/94191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53197 ÷ 217
    53197 ÷ 131072     		x = 0.405860900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94191 ÷ 217
    94191 ÷ 131072     		y = 0.718620300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405860900878906 × 2 - 1) × π
    -0.188278198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.59149340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718620300292969 × 2 - 1) × π
    -0.437240600585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.37363185861271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59149340} λ = -0.59149340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37363185861271))-π/2
    2×atan(0.253185752862016)-π/2
    2×0.247974763946054-π/2
    0.495949527892108-1.57079632675     		φ = -1.07484680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59149340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.890075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07484680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.584185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53197 KachelY 94191 -0.59149340 -1.07484680 -33.890075 -61.584185
    Oben rechts KachelX + 1 53198 KachelY 94191 -0.59144547 -1.07484680 -33.887329 -61.584185
    Unten links KachelX 53197 KachelY + 1 94192 -0.59149340 -1.07486961 -33.890075 -61.585492
    Unten rechts KachelX + 1 53198 KachelY + 1 94192 -0.59144547 -1.07486961 -33.887329 -61.585492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07484680--1.07486961) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dl = 145.322509999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07484680--1.07486961) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dr = 145.322509999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59149340--0.59144547) × cos(-1.07484680) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.475866990869533 × 6371000     		do = 145.311710341664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59149340--0.59144547) × cos(-1.07486961) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.475846928957086 × 6371000     		du = 145.305584195354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07484680)-sin(-1.07486961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475866990869533-0.475846928957086)×R²
    abs(-0.59144547--0.59149340)×2.00619124475221e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.00619124475221e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.00619124475221e-05×40589641000000     		ar = 21116.6173465029m²