Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53197 / 94153
↖ ↑ ↗
← S 61.534479°
W 33.890075°		 ← 145.54 m → S 61.534479°
W 33.887329°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
S 61.535788°
W 33.890075°		 ← 145.54 m →
21 188 m²		 S 61.535788°
W 33.887329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405864715576172 y=0.718334197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405864715576172 × 217)
    floor (0.405864715576172 × 131072)
    floor (53197.5)     		tx = 53197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718334197998047 × 217)
    floor (0.718334197998047 × 131072)
    floor (94153.5)     		ty = 94153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53197 / 94153 ti = "17/53197/94153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53197/94153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53197 ÷ 217
    53197 ÷ 131072     		x = 0.405860900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94153 ÷ 217
    94153 ÷ 131072     		y = 0.718330383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405860900878906 × 2 - 1) × π
    -0.188278198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.59149340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718330383300781 × 2 - 1) × π
    -0.436660766601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.37181025642715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59149340} λ = -0.59149340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37181025642715))-π/2
    2×atan(0.253647376902815)-π/2
    2×0.248408531451195-π/2
    0.496817062902389-1.57079632675     		φ = -1.07397926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59149340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.890075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07397926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.534479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53197 KachelY 94153 -0.59149340 -1.07397926 -33.890075 -61.534479
    Oben rechts KachelX + 1 53198 KachelY 94153 -0.59144547 -1.07397926 -33.887329 -61.534479
    Unten links KachelX 53197 KachelY + 1 94154 -0.59149340 -1.07400211 -33.890075 -61.535788
    Unten rechts KachelX + 1 53198 KachelY + 1 94154 -0.59144547 -1.07400211 -33.887329 -61.535788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07397926--1.07400211) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dl = 145.577349999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07397926--1.07400211) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dr = 145.577349999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59149340--0.59144547) × cos(-1.07397926) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.476629828100928 × 6371000     		do = 145.544651867202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59149340--0.59144547) × cos(-1.07400211) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.476609740447967 × 6371000     		du = 145.538517860716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07397926)-sin(-1.07400211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476629828100928-0.476609740447967)×R²
    abs(-0.59144547--0.59149340)×2.00876529610206e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.00876529610206e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.00876529610206e-05×40589641000000     		ar = 21187.558240049m²