Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53194 / 102093
↖ ↑ ↗
← S 70.330760°
W 33.898316°		 ← 102.80 m → S 70.330760°
W 33.895569°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.331684°
W 33.898316°		 ← 102.80 m →
10 564 m²		 S 70.331684°
W 33.895569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405841827392578 y=0.778911590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405841827392578 × 217)
    floor (0.405841827392578 × 131072)
    floor (53194.5)     		tx = 53194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778911590576172 × 217)
    floor (0.778911590576172 × 131072)
    floor (102093.5)     		ty = 102093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53194 / 102093 ti = "17/53194/102093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53194/102093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53194 ÷ 217
    53194 ÷ 131072     		x = 0.405838012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102093 ÷ 217
    102093 ÷ 131072     		y = 0.778907775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405838012695312 × 2 - 1) × π
    -0.188323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59163722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778907775878906 × 2 - 1) × π
    -0.557815551757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75242923941039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59163722} λ = -0.59163722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75242923941039))-π/2
    2×atan(0.173352317261335)-π/2
    2×0.171646498524799-π/2
    0.343292997049599-1.57079632675     		φ = -1.22750333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59163722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.898316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22750333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.330760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53194 KachelY 102093 -0.59163722 -1.22750333 -33.898316 -70.330760
    Oben rechts KachelX + 1 53195 KachelY 102093 -0.59158928 -1.22750333 -33.895569 -70.330760
    Unten links KachelX 53194 KachelY + 1 102094 -0.59163722 -1.22751946 -33.898316 -70.331684
    Unten rechts KachelX + 1 53195 KachelY + 1 102094 -0.59158928 -1.22751946 -33.895569 -70.331684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22750333--1.22751946) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22750333--1.22751946) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59163722--0.59158928) × cos(-1.22750333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336589766485339 × 6371000     		do = 102.803178505144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59163722--0.59158928) × cos(-1.22751946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336574577604728 × 6371000     		du = 102.798539430044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22750333)-sin(-1.22751946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336589766485339-0.336574577604728)×R²
    abs(-0.59158928--0.59163722)×1.51888806105283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51888806105283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51888806105283e-05×40589641000000     		ar = 10564.2511151766m²