Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53193 / 94198
↖ ↑ ↗
← S 61.593333°
W 33.901062°		 ← 145.27 m → S 61.593333°
W 33.898316°		 →
↑
145.26 m
↓
↑
145.26 m
↓
S 61.594639°
W 33.901062°		 ← 145.26 m →
21 101 m²		 S 61.594639°
W 33.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405834197998047 y=0.718677520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405834197998047 × 217)
    floor (0.405834197998047 × 131072)
    floor (53193.5)     		tx = 53193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718677520751953 × 217)
    floor (0.718677520751953 × 131072)
    floor (94198.5)     		ty = 94198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53193 / 94198 ti = "17/53193/94198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53193/94198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53193 ÷ 217
    53193 ÷ 131072     		x = 0.405830383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94198 ÷ 217
    94198 ÷ 131072     		y = 0.718673706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405830383300781 × 2 - 1) × π
    -0.188339233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.59168515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718673706054688 × 2 - 1) × π
    -0.437347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37396741691005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59168515} λ = -0.59168515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37396741691005))-π/2
    2×atan(0.253100808534559)-π/2
    2×0.247894935168109-π/2
    0.495789870336218-1.57079632675     		φ = -1.07500646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59168515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.901062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07500646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.593333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53193 KachelY 94198 -0.59168515 -1.07500646 -33.901062 -61.593333
    Oben rechts KachelX + 1 53194 KachelY 94198 -0.59163722 -1.07500646 -33.898316 -61.593333
    Unten links KachelX 53193 KachelY + 1 94199 -0.59168515 -1.07502926 -33.901062 -61.594639
    Unten rechts KachelX + 1 53194 KachelY + 1 94199 -0.59163722 -1.07502926 -33.898316 -61.594639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07500646--1.07502926) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dl = 145.258799999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07500646--1.07502926) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dr = 145.258799999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59168515--0.59163722) × cos(-1.07500646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.47572656107949 × 6371000     		do = 145.268828416241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59168515--0.59163722) × cos(-1.07502926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.475706506230342 × 6371000     		du = 145.262704426794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07500646)-sin(-1.07502926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47572656107949-0.475706506230342)×R²
    abs(-0.59163722--0.59168515)×2.00548491482433e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00548491482433e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00548491482433e-05×40589641000000     		ar = 21101.130912372m²