Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53193 / 102095
↖ ↑ ↗
← S 70.332609°
W 33.901062°		 ← 102.77 m → S 70.332609°
W 33.898316°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.333533°
W 33.901062°		 ← 102.77 m →
10 561 m²		 S 70.333533°
W 33.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405834197998047 y=0.778926849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405834197998047 × 217)
    floor (0.405834197998047 × 131072)
    floor (53193.5)     		tx = 53193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778926849365234 × 217)
    floor (0.778926849365234 × 131072)
    floor (102095.5)     		ty = 102095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53193 / 102095 ti = "17/53193/102095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53193/102095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53193 ÷ 217
    53193 ÷ 131072     		x = 0.405830383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102095 ÷ 217
    102095 ÷ 131072     		y = 0.778923034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405830383300781 × 2 - 1) × π
    -0.188339233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.59168515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778923034667969 × 2 - 1) × π
    -0.557846069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75252511320963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59168515} λ = -0.59168515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75252511320963))-π/2
    2×atan(0.173335698112756)-π/2
    2×0.171630364183254-π/2
    0.343260728366509-1.57079632675     		φ = -1.22753560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59168515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.901062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22753560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.332609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53193 KachelY 102095 -0.59168515 -1.22753560 -33.901062 -70.332609
    Oben rechts KachelX + 1 53194 KachelY 102095 -0.59163722 -1.22753560 -33.898316 -70.332609
    Unten links KachelX 53193 KachelY + 1 102096 -0.59168515 -1.22755173 -33.901062 -70.333533
    Unten rechts KachelX + 1 53194 KachelY + 1 102096 -0.59163722 -1.22755173 -33.898316 -70.333533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22753560--1.22755173) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dl = 102.764230000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22753560--1.22755173) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dr = 102.764230000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59168515--0.59163722) × cos(-1.22753560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336559379219926 × 6371000     		do = 102.772455254199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59168515--0.59163722) × cos(-1.22755173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336544190164127 × 6371000     		du = 102.767817093287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22753560)-sin(-1.22755173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336559379219926-0.336544190164127)×R²
    abs(-0.59163722--0.59168515)×1.51890557988921e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51890557988921e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51890557988921e-05×40589641000000     		ar = 10561.0939110821m²