Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53192 / 94197
↖ ↑ ↗
← S 61.592026°
W 33.903809°		 ← 145.31 m → S 61.592026°
W 33.901062°		 →
↑
145.32 m
↓
↑
145.32 m
↓
S 61.593333°
W 33.903809°		 ← 145.30 m →
21 116 m²		 S 61.593333°
W 33.901062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405826568603516 y=0.718669891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405826568603516 × 217)
    floor (0.405826568603516 × 131072)
    floor (53192.5)     		tx = 53192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718669891357422 × 217)
    floor (0.718669891357422 × 131072)
    floor (94197.5)     		ty = 94197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53192 / 94197 ti = "17/53192/94197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53192/94197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53192 ÷ 217
    53192 ÷ 131072     		x = 0.40582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94197 ÷ 217
    94197 ÷ 131072     		y = 0.718666076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718666076660156 × 2 - 1) × π
    -0.437332153320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.37391948001043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59173309} λ = -0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37391948001043))-π/2
    2×atan(0.253112941693422)-π/2
    2×0.24790633783678-π/2
    0.49581267567356-1.57079632675     		φ = -1.07498365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07498365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.592026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53192 KachelY 94197 -0.59173309 -1.07498365 -33.903809 -61.592026
    Oben rechts KachelX + 1 53193 KachelY 94197 -0.59168515 -1.07498365 -33.901062 -61.592026
    Unten links KachelX 53192 KachelY + 1 94198 -0.59173309 -1.07500646 -33.903809 -61.593333
    Unten rechts KachelX + 1 53193 KachelY + 1 94198 -0.59168515 -1.07500646 -33.901062 -61.593333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07498365--1.07500646) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dl = 145.322509999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07498365--1.07500646) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dr = 145.322509999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59173309--0.59168515) × cos(-1.07498365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475746624477161 × 6371000     		do = 145.305264833344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59173309--0.59168515) × cos(-1.07500646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47572656107949 × 6371000     		du = 145.299136955263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07498365)-sin(-1.07500646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475746624477161-0.47572656107949)×R²
    abs(-0.59168515--0.59173309)×2.00633976701892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00633976701892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00633976701892e-05×40589641000000     		ar = 21115.6805434888m²